Что такое математические способности и как их развить?
Недавно потерпев очередное поражение в математике задался вопросом: что же все таки такое математические способности? О каких именно свойствах человеческого мышления идет речь? И как их развить? Потом решил обобщить этот вопрос и сформулировать его следующим образом: что такое способности к точным наукам? что в них общего и в чем их отличие? чем отличается мышление математика от мышления физика, химика, инженера, программиста итд. В интернете не было найдено практически никаких вразумительных материалов. Единственное, что понравилось — это эта статья про то существуют ли какие-нибудь специфические способности к химии и связаны ли они со способностями к физике и математике.
Хотелось бы спросить мнение читателей. А ниже я изложу свое субъективное виденье проблемы.
Для начала попытаюсь сформулировать в чем, по моему мнению, заключается камень преткновения при освоении математики.
Как мне кажется, проблема кроется именно в доказательствах. Строгие и формальные доказательства по своей сути очень специфичны и встречаются, в основном в математике и философии (поправьте, если я и ошибаюсь). Не случайно многие великие умы были и математиками и философами одновременно: Бертран Рассел, Лейбниц, Уайтхед, Декарт список далеко не полный. В школах доказательствам почти не учат, они там встречаются в основном в геометрии.Я встречал довольно много людей одаренных технически, являющихся специалистами в своих областях, но при этом впадающих в ступор при виде математической теории и, когда нужно провести простейшее доказательство.
Следующий момент тесно связан с предыдущим. У математиков критическое мышление доходит совершенно до каких-то немыслимых высот. и всегда присутствует желание доказать и проверить на первый взгляд очевидные факты. Вспоминаю свой опыт по изучению алгебры и теории групп наверное, это не достойно человека мыслящего, но мне всегда было скучно выводить какие-то общеизвестные факты из линейной алгебры и я не мог заставить себя проделать 20 доказательств о свойствах линейных пространств, и готов поверить на слово, условию теоремы, лишь бы от меня отстали.
В моем понимании для успешного овладения математикой человеку необходимо обладать следующими навыками:
1.Индуктивные способности.
2.Дедуктивные способности.
3. Умение оперировать с большим объемом информации в уме. Хорошим тестом может служить задача Эйнштейна
Можно вспомнить о советском математике Понтрягине, который ослеп в 14 лет.
4. Усидчивость, способность быстро соображать, плюс интерес способны скрасить те усилия, которые придется приложить, но не являются необходимыми условиями и уж тем более достаточными.
5. Любовь к абсолютно отвлеченной игре ума и абстрактным понятиям
Тут можно привести в пример и топологию и теорию чисел. Еще забавную ситуацию можно наблюдать у тех, кто занимается уравнениями в частных производных сугубо с математической точки зрения и практически полностью игнорируют физическую интерпретацию
6. Для геометров желательно иметь пространственное мышление.
Что касается меня, то я определил свои слабые места. Хочу начать с теории доказательств, математической логики и дискретной математики, а также увеличить количество информации, которой я могу оперировать. Особо стоит отметить книги Д.Пойи «Математика и правдоподобные рассуждения », «Как решать задачу»
А что по вашему является ключом к успешному освоению математики и других точных наук? И как развить эти способности?
О песочнице
Это «Песочница» — раздел, в который попадают дебютные посты пользователей, желающих стать полноправными участниками сообщества.
Если у вас есть приглашение, отправьте его автору понравившейся публикации — тогда её смогут прочитать и обсудить все остальные пользователи Хабра.
Чтобы исключить предвзятость при оценке, все публикации анонимны, псевдонимы показываются случайным образом.
О модерации
Не надо пропускать:
- рекламные и PR-публикации
- вопросы и просьбы (для них есть Хабр Q&A);
- вакансии (используйте Хабр Карьеру)
- статьи, ранее опубликованные на других сайтах;
- статьи без правильно расставленных знаков препинания, со смайликами, с обилием восклицательных знаков, неоправданным выделением слов и предложений и другим неуместным форматированием текста;
- жалобы на компании и предоставляемые услуги;
- низкокачественные переводы;
- куски программного кода без пояснений;
- односложные статьи;
- статьи, слабо относящиеся к или не относящиеся к ней вовсе.
Источник
Дар или навык? Что такое математические способности и как их развить
Успехи других людей – это всегда немного загадка. Почему у одних получается решать сложные математические задачи, а другие, как бы ни старались, не могут выйти на новый уровень? Неужели математика и правда подвластна не всем? На эти вопросы ответил Назар Агаханов, председатель Центральной предметно-методической комиссии по математике Всероссийской олимпиады школьников. С 1995 года руководил национальной командой России на международных математических олимпиадах.
В 2010 году Назар Хангельдыевич стал лауреатом премии Правительства РФ в области образования за научно-практическую разработку «Система развития всероссийских предметных олимпиад школьников, отбора и подготовки национальных сборных команд России на международные олимпиады по физике и математике». Когда проявляются математические способности, как их развивать и кому не стоит идти в олимпиадное движение – рассказал эксперт.
Фото: https://mipt.ru/
Математические способности – это умение построить новые модели, не повторяющие стандартные алгоритмы, которым научили в школе. На базе таких маленьких открытий и строятся наука и технологии. Именно поэтому математика позволяет находить способных детей.
Некоторые ученые считают, что порядка 10% людей обладают высокими математическими способностями. И это нормально. Если нет математических способностей, значит, есть что-то другое. Важно помогать детям открывать интересные сферы, но не навязывать.
«Каждый родитель хочет, чтобы его ребенок вырос успешным человеком, и сейчас очень популярна позиция, что развивать нужно с пеленок. Может быть, так и есть, но в любом случае лучше отталкиваться от искреннего интереса ребенка. Талант погибнет, если заставлять его делать несвойственное. Часто родители хотят использовать любые возможности, в частности, например, отправляют заниматься ментальной арифметикой, ложно полагая, что это шаг в математику, но это бессмысленная трата времени, ведь математика – это творчество. Не зря же задачи и решения называют красивыми», – говорит Назар Агаханов.
Чаще всего склонность к математике начинает проявляться в начальной школе, но это не значит, что сразу нужно вести ребенка на несколько кружков и интенсивно развивать эти способности. Достаточно одного урока занимательной математики в неделю.
Более серьезные кружки начинают работу с учениками 5-6 классов. На этом этапе изучения математики обогнать сверстников очень легко. Круг задач еще достаточно узок и владение приемами их решения позволяет обойти даже, возможно, потенциально более сильных сверстников именно за счет знаний, а вот дальше, в 7-8 классах, для высоких результатов нужно чувствовать математику, здесь и проявляются математические способности. В это время преподаватели работают со школьником на развитие математического аппарата, укрепляется который уже в старших классах.
Поэтому нередко бывает, что ярко проявляющие себя в 5-7 классах школьники начинают терять свои позиции в старших классах и выгорают от непонимания, почему теперь не получается быть сильнее других. Хотя выгорание возможно и по другой причине – слишком долгие занятия олимпиадными задачами. Интерес все-таки нужно поддерживать, переключаясь на другую деятельность.
.jpg)
Характер и воля: что помогает добиваться успехов в олимпиадах
Трудолюбие и готовность много работать – наверное, самые очевидные качества, которые нужны в любой сфере для достижения высоких результатов.
«Способности – это фундамент. Чтобы подняться на несколько ступенек вверх, нужно работать. При наличии этих двух пунктов и еще хорошего педагога, все остальное уходит на второй план. Даже атмосфера в семье и материальное благополучие. В сборную часто попадают дети, у которых не очень устроено семейное положение. Можно даже сделать частный вывод, что чем больше благоустроен быт, тем меньше ребенок настроен трудиться», – рассказывает Назар Агаханов.
Еще один важный пункт, над которым нужно работать каждому олимпиаднику, – психологическая устойчивость. На олимпиаде ребенок от волнения может показать результат хуже, чем его потенциал. Более ярко это проявляется в спорте, когда ребенок, приезжая на международные соревнования, проваливается. Нужно уметь воспринимать состязания не как конкурс, где тебе придется преодолевать невероятные сложности, а как удовольствие от того, что ты встретишься с интересными задачами и попробуешь их решить. Самостоятельно психологическую устойчивость развивать сложно. Для этого важна среда.
«Задумайтесь, почему в хороших математических школах так много детей, показывающих высокие результаты? Во-первых, конечно, в лучших школах собираются лучшие учителя. Во-вторых, в конкурентной борьбе с равными тебе сверстниками ты привыкаешь – нужно доказывать, что ты лучший. Несколько раз сначала ты можешь сорваться из-за волнения, а дальше уже будешь спокоен», – говорит Назар Агаханов.
Интересуйтесь всем: советы по эффективному олимпиадному тренингу
Если юный математик идет в олимпиадное движение только ради поступления в университет, лучше оставить эту затею. По словам эксперта, количество бюджетных мест по России определенно превосходит количество способных ребят, заканчивающих школы. Проблемы с тем, чтобы ребенок был талантлив в математике, а его не хотели брать на учебу в вуз, нет. Такие ребята с легкостью сдают экзамены. Повторимся, этот фактор абсолютно для математики не работает.
Пожалуй, нужно искренне любить соревноваться, чтобы спокойнее переживать возможный стресс. А педагог поможет раскрыть способности и стать лучше. Заниматься с преподавателями можно и онлайн, и оффлайн. Но эксперт уверен, что онлайн-формы не заменят личного общения.
«Важен не объем пройденного материала, а то, как преподаватель послушал решение и рассуждения ребенка. Именно поэтому подготовка к международным олимпиадам во всех странах проходит примерно одинаково – учитель помогает разобрать ошибки, а не начитывает лекции. Школьник может увидеть решения тысяч задач и от этого не продвинуться, но, если он сам углубился в вопрос, попробовал решить, увидел трудные места, ему приоткроется новое знание. Дистанционные формы, к сожалению, в этом не столь эффективны, потому что важен живой диалог и прямая беседа. При этом место проживания – не крест для успехов. Хорошие преподаватели есть в регионах и это факт», – утверждает Назар Агаханов.
Еще одна возможность прокачаться – различные турниры и летние школы, которые есть практически в каждом регионе. Можно подобрать для себя наиболее подходящие. Такие площадки собирают большое количество ребят из разных городов в одном месте, дают возможность и пообщаться, и вместе решать задачи, и познакомиться с педагогами, которые входят в жюри.
Еще один важный пункт на пути к эффективным занятиям – вовремя отдыхать. Спорт, прогулки, активный отдых – хороший инструмент для качественной перезагрузки между занятиями. Но не единственный.
«Большое количество открытий в математике происходит на стыке дисциплин, когда ты можешь переключиться, перенести свои способности на другое направление, в котором не являешься специалистом самого высокого уровня. Поэтому при стремлении добиться чего-то серьезного в математике, стоит интересоваться всеми предметами в школе и вообще разносторонне развиваться», – говорит Назар Агаханов.
Отсюда возникает вопрос, если тратить время на другие интересы, то сколько тогда нужно заниматься именно математикой? Конкретного ответа здесь нет, все очень индивидуально. Формулу поможет выработать внутреннее ощущение – заниматься нужно ровно столько, чтобы чувствовать, что ты находишься в форме. А вот перед олимпиадными турами важно не перегружать мозг слишком интенсивными занятиями, чтобы не устать.
Обрати внимание: самые распространенные ошибки начинающих олимпиадников
Многие начинающие олимпиадники делают ошибки из-за того, что не продумывают решение глубоко. Чаще всего это происходит из-за невнимательности и игнорирования части условий. Поэтому Назар Агаханов рекомендует, как банально бы это ни было, детально читать условия задач и использовать в решении все обозначенные параметры.
В решении геометрических задач чаще всего встречаются логические ошибки, когда то, что надо доказать, каким-то образом встраивается в логику решения. Пример: нужно доказать равенство углов. Школьник отталкивается от фразы «так как эти углы равны», решает задачу и попадает в логическую ловушку, делая некорректные выводы.
Распространенная ошибка в алгебре и комбинаторике – длинное решение с перебором вместо короткого. Решение методом перебора – нормальный подход, но, если пропускается какой-то случай, решение может не засчитаться, потому что именно в этом случае и было верное решение.
Источник
Как узнать, способен ли ребенок к математике?
Разговоры о способных и неспособных припахивают расизмом.
«Что за дурацкая аналогия», — скажете?
Не дурацкая, а глубокая.
В чем корни расизма? В стремлении одних людей извлечь выгоду за счет других по «праву рождения». Это если не усложнять.
А если научнее, то вот:
» Расизм — совокупность идеологических воззрений , в основе которых лежат положения о неравноценности человеческих рас»
«. идеология, заявляющая о разделении людей на строго дифференцированные группы , . о связи между унаследованными физическими чертами и чертами характера, интеллектом . а также о врождённом превосходстве одних рас над другими»
Так что корень расизма, скорее, экономический, хотя выглядит, как идеологический. Или даже научный — существовали же исследования, показывающие .
Вернемся к математическим способностям.
Педагогический расизм
Зачем эти разговоры и кто их ведет?
Чаще всего — педагоги. Для чего? Вот здесь и начинается самое интересное .
- — «У вашего ребенка нет математических способностей».
- — «У вашего ребенка не развито абстрактное мышление».
- — «Ну и что?»
- — «А то, что ему лучше сдать ОГЭ и идти куда глаза глядят. Все равно ему ничего не светит.»
Возможно не всегда так грубо, но иногда еще грубее .
- — «Откуда вы знаете, что не получится?»
- — «Я — эксперт!»
Это и есть педагогический, образовательный расизм . Разделении на группы по врожденному (как стремятся представить «эксперты») признаку.
Все люди разные .
Это действительно так.
Например, все люди разного роста и веса, у них разный цвет кожи и все такое. Но дальше этого не все так очевидно.
Темнокожих атлетов подвергали дискриминации на спортивных соревнованиях — разными методами, и прямо, и похитрее. «Арийская раса» должна была по определению быть сильнее, выше, быстрее.
Оказалось, что это не всегда так.
Но это — простая, проверяемая вещь — физические возможности, спорт.
И то (как я уже не раз писал) до сих пор не существует научной системы раннего тестирования спортивных способностей . Если бы такая система существовала, то мы штамповали бы спортивных супер героев и не тратили время и средства на тех, у кого «все равно ничего не получится».
Не путайте это с «селекцией», когда уже почти состоявшихся атлетов берут «под крыло» известные тренеры. И доводят до ума.
Что же такое «способности»?
» Способности — это свойства личности, являющиеся условиями успешного осуществления определённого рода деятельности.»
Вы не находите, что концептуально определения «расизма» и «способностей» идентичны ?
Вопрос ведь не в том, кто-то прыгает выше других, а кто-то лучше разбирается в определенной области математики. Вопрос в том, что изначально никто не способен удовлетворительным образом отличить одних от других!
А именно на этом делают упор «авторитеты»!
Плохенький учитель свою неспособность донести до большинства простейшие вещи — даже дроби, даже принцип пропорциональности объяснить — сваливает это на «отсутствие способностей» у детей.
Блин горелый! Ты настолько умная, что наперед знаешь, «что было, что будет, на чем сердце успокоится», а простейшую начальную математику объяснить не можешь?
Вы чувствуете логическое противоречие?
Прецедент Карла Гаусса
Вот «математическая вертикаль» как пример неспособности отличить способных от неспособных . Какие-то «входные контрольные», какие-то тесты, столько важности, столько шума, столько нервов .
И что? Отобрали самых способных.
Беднягу К.Гаусса школьный учитель, «авторитет» высек за неспособность маленького Карла вычислить должным образом сумму ряда чисел! (( А малыш всего-то — изобрел «способ Гаусса», чтобы сэкономить время и получил за это по попке розгами.
Это исторический анекдот, то есть правда.
Сколько Гауссов было задушено в зародыше? Скольким потенциальным гениям не позволили проявиться «авторитеты», предсказывающие способности? На этот вопрос невозможно ответить . И на этом идет спекуляция!
Но, зная школьную систему и имея «прецедент Гаусса» скажем: много.
Источник
