Что значит логарифмическая шкала

Reveal the Data

Выбор типа шкал для графика, всегда казалось мне интуитивно понятной задачей. Однако, когда мне нужно было объяснить, чем они отличаются, то я не смог привести понятных аргументов. В интернете хорошей информации мне не попалось. Поэтому решил разобраться, откуда растут ноги у разных видов шкал и как их следует применять. Я решил рассмотреть три самых распространенных вида шкал — равномерную, логарифмическую и степенную.

Равномерная шкала

Самый распространенный и привычный вид шкал. Также их называют арифметическими или линейными шкалами. На такой шкале значения равноудалены друг друг от друга.
Например значения 100 и 200, и 200 и 300 отстают друг от друга на одно и тоже расстояние.
Например, на этом графике по оси Y — равномерная шкала с шагом в 20 лет средней продолжительности жизни, а по оси X — равномерная шкала с шагом 10 календарных лет.

Логарифмическая шкала

Этот вид шкал тоже используется достаточно часто, особенно когда речь идёт о научных исследованиях. Она используется для отображения широко диапазона величин, когда значения, которые попадают на график отличаются на много порядков. То есть когда мы хотим одновременно видеть и значения 0.1, 0.2 и значения 100, 200 на одном графике. Зачастую это связанно с физикой процесса. Так, например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза это ноты на октаву выше (Ля и Ля следующей октавы). Чтобы показать частоты двух нот будет удобно использовать логарифмическую шкалу.

Но бывает, что в наборе данных просто содержаться большой разброс данных. Например, как на этом графике из Beautiful Evidence Тафти, где он использует логарифмические шкалы для сравнения массы тела и мозга различных существ. Так как бывают и крошечные рыбки и огромные киты, то на таком графике удобно использовать логарифмические шкалы.

Чаще всего используются логарифмические шкалы с основанием 10. Это значит, что одинаковые расстояние на графике откладываются между значениями отличающимися на один порядок. Но бывают логарифмические шкалы с другими основаниями. Например 2.

Степенная шкала

Это менее известный тип шкал. Он отличается от остальных тем, что расстояние между рисками, соответствует числам возведенным в степень. То есть получается, что расстояние между соседними рисками постоянно растёт или уменьшается. Такие шкалы удобны, когда мы хотим показать на одном графике более детально какую-то группу значений, но при это не хотим потерять из вида, значения которые, сильно отличаются от этой группы. Чем-то это похоже на логарифмическую шкалу, но здесь идёт акцент не на всем промежутке, а только на отдельной его части. Это хорошо видно на примере РИА новости, где они использовали степенные шкалы, чтобы сгладить выбросы по доходам отдельных депутатов.

Со степенной шкалой

С равномерной шкалой

То есть степенные шкалы используются когда данные смещены в ту или иную сторону.

Сравнение шкал

Чтобы удобно сравнить и понять как использовать ту или иную шкалу, я сделал небольшой инструмент. На нём можно выбрать разные наборы данных и понять, как они выглядят на разных шкалах.

Источник

Что значит логарифмическая шкала

Основные свойства счетной линейки и в первую очередь правило пропорций вытекают из того, что шкалы счетной линейки являются логарифмическими.

Шкала называется логарифмической, если на ней нанесены логарифмы чисел, а отметками шкалы являются сами числа.

На рисунке представлена логарифмическая шкала х рядом с равномерной шкалой у, на которой нанесены десятичные логарифмы чисел х.

Равномерность шкалы у означает, что длина отрезка [у₁, у₂] между любыми двумя точками у₁ и у₂ этой шкалы пропорциональна разности у₂ — у₁ В частности, последовательные целые точки, y = 0, 1, 2, . находятся на равных расстояниях друг от друга. На шкале х: против точек у = 0, 1, 2, . ставятся отметки х = 1, 10, 100. так что логарифмическая шкала х оказывается уже неравномерной. Промежуточные отметки шкалы х могут быть нанесены с помощью таблицы десятичных логарифмов, например, отметки х = 2; 3; 4; 5 наносятся против значений у = 0,301; 0,478; 0,602; 0,699. Очевидно, что точки х = 1, 2, 3, 4, 5, . будут при этом находиться на неравных расстояниях.

Логарифмическая шкала простирается неограниченно в обе стороны. Слева от точки х=1 находятся положительные числа, меньшие 1, десятичные логарифмы которых отрицательны. (Мы здесь и в дальнейшем будем употреблять термины «точка х» и «число х» как равносильные, подобно тому как это делается при работе с числовой осью.)

Основные шкалы А и В счетной линейки представляют собой только один отрезок [1, 10] логарифмической шкалы. Шкалы С и D представляют собой отрезок [1, 100] логарифмической шкалы, а шкала К — отрезок [1, 1000] той же шкалы.

Шкала L представляет собой равномерную шкалу, точки 0 и 1 которой находятся соответственно против чисел 1 и 10 шкалы В из сказанного выше, а также из рисунка ясно, что шкала L дает десятичные логарифмы чисел шкалы В.

1. Вывод правила пропорций (см. раздел «Правило пропорций»). Сначала найдем расстояние ρ [а, b] между двумя точками х = а и x = b (b > а) логарифмической шкалы. Воспользуемся для этого равномерностью шкалы у = lgx длина отрезка шкалы у, совпадающего с отрезком [а, b] шкалы х пропорциональна разности lgb — lga.

Обозначая коэффициент пропорциональности через λ, получим

В частности, расстояние любой точки х логарифмической шкалы от точки 1 пропорционально десятичному логарифму числа х

Коэффициент λ равен длине отрезка [1, 10] логарифмической шкалы (т. е. единице масштаба оси у), как видно из формулы

Возьмем теперь две одинаковые и параллельно расположенные логарифмические шкалы, которые мы обозначим через А и В. Сместим шкалу А относительно шкалы В и рассмотрим любые пары чисел а₁ и b₁ а₂ и b₂, которые окажутся друг против друга на этих шкалах (см. раздел «Правило пропорций»).

Это значит, что для рассматриваемых чисел имеет место пропорция

Эта пропорция равносильна пропорции

которая и выражает доказываемое правило:

При любом смещении шкал А и В все числа шкалы А пропорциональны расположенным против них числам шкалы В.

Отметим, что доказанное правило пропорций относится ко всей бесконечной логарифмической шкале. Если бы мы имели возможность построить такую шкалу на счетной линейке, то мы могли бы вести расчеты с числами без их предварительной нормализации и без переброски движка. Необходимость нормализации исходных данных и применяемые в расчетах переброски движка вызваны тем, что на основных шкалах счетной линейки имеется только один отрезок логарифмической шкалы.

2. Свойство «периодичности» логарифмической шкалы. Из правила пропорций вытекает, что если шкалу А сдвинуть относительно шкалы В вправо на длину отрезка [1, 10], то все числа шкалы В будут в 10 раз больше расположенных против них чисел шкалы А:

Отсюда следует, что логарифмическая шкала на отрезке [10, 100] как бы повторяет отрезок [1, 10] этой шкалы с увеличением всех чисел в 10 раз. Точно так же любой отрезок [10 n , 10 n+1 ] как бы повторяет отрезок [1, 10] с увеличением всех чисел в 10 n раз (n — целое). Благодаря этому свойству один отрезок [1, 10] позволяет восстановить путем последовательного смешения всю логарифмическую шкалу. Отмеченное свойство называется свойством периодичности логарифмической шкалы. Оно позволяет, в частности, обосновать правило переброски движка путем рассмотрения этой переброски как продолжения шкалы А или В. Далее, в силу того же свойства периодичности логарифмические шкалы С и D можно рассматривать как шкалы, состоящие каждая из двух отрезков [1, 10], а это значит, что на них можно решать пропорции без переброски движка.

Наконец, свойство периодичности позволяет нанести логарифмическую шкалу на окружность, что вообще снимает вопрос о перебросках движка. Такие круговые логарифмические шкалы реализованы в конструкциях логарифмического диска «Спутник» (см. раздел «Решение пропорций») и описываемой в приложении 3 Круговой логарифмической линейки КЛ-1.

3. Постоянство относительной погрешности. Погрешность установки чисел на шкале определяется тем расстоянием, на которое по техническим правилам допускается смещение штрихов шкалы. Так как смещение штрихов, не превышающее допуска, может встретиться на любом участке шкалы, то для равномерной шкалы абсолютная погрешность установки чисел будет одна и та же на всем протяжении шкалы. Иначе обстоит дело на логарифмических шкалах. Здесь оказывается постоянной не абсолютная, а относительная погрешность установки чисел. Это означает следующее. Пусть при установке чисел а и b на логарифмической шкале их абсолютные погрешности А_а и А_b вызваны тем, что отметки а и b смещены на одно и то же расстояние. Тогда из равенства этих расстояний

как и в пункте 1, вытекает пропорция

что и выражает равенство относительных погрешностей установки чисел а и b.

По существующим техническим правилам смещение штрихов на обычных счетных линейках не должно превосходить 0,2 мм. Это значит, что предельное допустимое смещение любой отметки а составляет

Отсюда по формуле расстояний получаем

Для основных шкал А к В нормальной линейки коэффициент дающий длину отрезка [1, 10] шкалы, равен 250 мм, поэтому

а значит, относительная погрешность установки чисел на основных шкалах А и В нормальной счетной линейки составляет около 0,2%.

На шкалах С и D коэффициент К вдвое меньше (125 мм) и поэтому относительная погрешность установки чисел на этих шкалах вдвое больше (≈ 0,4%).

4. Построение шкал степенных функций. Рассмотрим сначала соответствие между шкалами В и С корпуса. Шкала В представляет собой отрезок [1, 10] логарифмической шкалы с масштабным коэффициентом λ₁ = 250 мм. Шкала С представляет собой отрезок [1, 100] логарифмической шкалы с масштабным коэффициентом λ₂ = λ₁/2 = 125 мм причем 1 шкалы С находится против 1 шкалы В.

Поэтому если точка u шкалы С находится против точки х₀ шкалы В, то из равенства расстояний

Вот почему шкала С является шкалой квадратов для шкалы В. Аналогично строится шкала кубов К с масштабным коэффициентом λ₃ = λ₁/3.

Шкала квадратов и шкала кубов являются простейшими шкалами степенной функции. Легко построить шкалу степенной функции u = х r при любом показателе r > 0. Для этого достаточно параллельно шкале В аргумента х поместить еще одну логарифмическую шкалу с масштабным коэффициентом

и установить число u = 1 этой шкалы против числа х = 1 шкалы В. Действительно, при этом для соответственных точек х и u по формуле расстояния имеем

Таким путем можно построить на счетной линейке шкалу функции х r не только при любом целом, но и при любом дробном и даже иррациональном значении r. На обычных линейках ограничиваются случаями целых значений r = 2 и r = 3.

Заметим, что можно построить шкалу степенной функции и с отрицательным показателем r = -q, q > 0; для этого надо только изменить направление логарифмической шкалы u. Действительно, при изменении направления оси изменяется знак в формуле расстояния, и поэтому предидущая формула заменяется на следующую:

На обычных линейках подобные шкалы встречаются только для случая г = — 1 (шкала обратных величин).

Источник

Логарифмический график (шкала), чем отличается от линейного (обычного)?

Всем привет!

Сейчас расскажу что такое линейная и логарифмическая шкалы и зачем они нужны при анализе графика.

Логарифмический масштаб (шкала) — длина отрезка которая пропорциональна логарифму отношения величин, отмеченных на концах этого отрезка, в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах.

За определение из «Wikipedia» спасибо, но что это значит?

Линейная шкала

Линейная шкала математически выглядит так:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Все значения на этой шкале находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Расстояние, на котором будут удалены значения друг от друга — шаг, определяется изначально или вычисляется разницей между первым значением и вторым. В примере выше шаг = 1 или 1-0=1.

Линейный график на бирже использует шаг равный тику, то есть минимально возможному изменению цены.

Отталкиваясь от тика BTC линейная шкала строится так:

0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05; 0,06; 0,07; 0,08; 0,09; 0,1

Линейный график выводится на экран отталкиваясь от линейной шкалы, которая строится от значения тиков.

Шкала равномерная — график «как есть» согласно шкале.

Мои разработки:

Ценная информация об инвестировании в криптовалюты, стратегии, инструменты и фишки в нашем Telegram-канале Крипталий . Рекомендую!

Подписаться → t.me/cryptaly

Логарифмическая шкала

Логарифмическая шкала математически выглядит так:

0 1 2 4 8 16 32 64 128 256

Все значения на этой шкале отображаются в зависимости от основания.

Логарифмический график на бирже использует основание равное минимальной исторической цене.

На примере линейного графика OMG/USDT выше, основание = 1,352$

Логарифмический график будет строиться отталкиваясь не от шкалы, как это происходит на линейном графике, а от изменения цены относительно основания. Расстояние у шкал будет зафиксировано от 0 до 100%.

Расстояния между шкалами 1,352 и 2,704 = 100%.

Если цена будет = 1,7, то график будет отображать её значение отталкиваясь от процентной шкалы, где 1,352 = 0%, а 2,704 = 100%.

Шкала зависит от основания — изменения цены отображается на графике отталкиваясь от процентного прироста или снижения от основания.

Вывод

Логарифмический график более адекватно показывает относительный прирост цены отталкиваясь от её минимально исторического значения (основания).

По линейному графику актива, который раньше стоил очень мало, а сейчас ого-го будет казаться, что изначально он почти не растёт, а текущая высокая цена будет казаться невероятно выросшей.

Будет складываться ощущение, что актив перекуплен и вот-вот должен рухнуть, но логарифмическая шкала «сплющит» его согласно основанию и будет видна объективная картина роста цены.

Источник