Что значит линия пересечения плоскостей

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f_0γ1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
5. Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

1. Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h_0α и h_0β. Точка L»₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
2. Находим точку L»₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»₂.
3. Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f_0σ и 5»=A»С»∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Источник

Пересекающиеся плоскости

Плоскость — это одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Содержание:

Понятие пересекающихся плоскостей

Определение. Плоскости, которые имеют хотя бы одну общую точку, называют пересекающимися.

Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой . Плоскости и в этом случае являются пересекающимися по прямой (рис. 2.379).

Пример:

Дана плоскость . Доказать, что существует другая плоскость (3, пересекающая .

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Плоскость (дано) (рис. 2.380).

2. Нужно доказать, что существует другая плоскость , пересекающая .

Мы знаем, что на основании аксиомы 3 (аксиомы плоскости) три точки определяют единственную плоскость.

3. Возьмем точки А и В, принадлежащие плоскости , и точку С, не лежащую на прямой АВ и не принадлежащую (построение) (рис. 2.381).

4. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них можно провести плоскость , и притом только одну (3, аксиома 3).

5. Плоскости и имеют общую точку (1, 3, 4).

6. Плоскости и пересекаются по прямой АВ (5, аксиома 5) (рис. 2.382).

7. Мы доказали, что существует плоскость Р, пересекающая . (6)

Замечание. Если допустить, что точка С лежит на прямой АВ, то она будет лежать и в плоскости , что противоречит выбору точки С.

Двугранные углы

При пересечении плоскостей образуются двугранные углы.

Определение. Фигуру, образованную двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, называют двугранным углом. Прямую называют ребром, а полуплоскости — сторонами или гранями двугранного угла.

На рисунке 2.383 изображен двугранный угол с ребром АВ.

Этот угол можно обозначать двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежит несколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, одна крайняя — у одной грани, другая — у другой (рис. 2.384).

Определение. Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную ребру, то в пересечении этой плоскости с двугранным углом образуется угол, который называют линейным углом двугранного угла.

На рисунке 2.385 изображен линейный угол АОВ двугранного угла АОСВ. Вершиной линейного угла служит точка О, лежащая на ребре ос двугранного угла, а сторонами — лучи граней, исходящие из точки о и перпендикулярные ребру двугранного угла.

Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 2.386).

Определение. Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру любого из его линейных углов.

Определение. Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°).

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Для двугранных углов так же, как и для плоских, вводится понятие его градусной меры — величины.

Определение. Два двугранных угла называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.

Если градусная мера одного из двугранных углов больше градусной меры другого, то говорят, что первый двугранный угол больше второго, а второй меньше первого. На рисунке 2.387 изображены три двугранных угла с общим ребром АВ. Двугранные углы CABD и DABE равны, так как их градусные меры равны 30°. Двугранный угол САВЕ больше двугранного угла CABD.

Подобно плоским углам, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.

Все сказанное можно сформулировать в виде теорем.

Теорема 2. 1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2. Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Верна и обратная теорема.

Теорема 3. 1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2. Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Из теорем 2 и 3 легко получить три следствия.

Следствие 1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.

Следствие 2. Все прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.

Следствие 3. Вертикальные двугранные углы равны.

Пример:

Докажем теорему 3.

Из условия теоремы имеем:

1. PABQ и — два данных двугранных угла (рис. 2.388).

2. Вложим угол в угол АВ так, чтобы ребро совпало с ребром АВ, а грань — с гранью Р (построение) (рис. 2.389).

3. Если эти двугранные углы равны, то грань совпадает с Q; если же двугранные углы не равны, то грань займет некоторое положение, не совпадающее с Q, например положение (1, 2).

4. Возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В и проведем через нее плоскость , перпендикулярную ребру АВ (построение) (рис. 2.390).

5. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы.

Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол cbd; если же двугранные углы не совпадут (если, например, грань займет положение то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно ) (3, 4).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

α1: A1x+B1y+C1z+D1=0,

(1)

α2: A2x+B2y+C2z+D2=0,

(2)

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

α2: A1x+B1y+C1z+λD2=0,

(3)

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

(4)

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

,

(5)

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

.

(6)

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

.

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

.

(9)

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

.

(10)

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

.

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

.

.

(11)

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

.

(12)

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

(13)

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(14)

(15)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

(16)

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(17)

(18)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

(19)

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.

Источник