Квантовое состояние
Состояние из физической системы описывает все аспекты этой системы, с целью прогнозирования результатов экспериментов , которые могут быть выполнены. Тот факт , что квантовая механика является не- детерминированными приводит к фундаментальному отличию от описания , приведенного в классической механике: в то время как в классической физике, состояние системы абсолютно определяет результаты измерения физических величин, такая вещь невозможно в квантовой физике а знание состояния только позволяет предсказать, хотя и с идеальной воспроизводимостью, соответствующие вероятности различных результатов, которые могут быть получены после уменьшения волнового пакета во время измерения квантовой системы. По этой причине принято говорить, что квантовая система может находиться в нескольких состояниях одновременно. Фактически следует понимать, что система находится в одном квантовом состоянии, но измерения могут давать несколько разных результатов, каждый из которых связан с вероятностью его появления во время измерения.
Таким образом, состояние должно рассматриваться как представление всей информации, доступной в системе : описание истории системы, позволяющее рассчитать вероятности измерения. В философских дебатах относительно интерпретации квантовой механики некоторые подходы, такие как копенгагенская интерпретация, считают, что квантовое состояние не является элементом реальности в том смысле, который Эйнштейн придал этому термину, а просто полезным посредником в вычислениях для прогнозирования измерений; другие подходы используют понятие квантовой декогеренции для описания процесса, реализуемого во время квантового измерения.
Одним из следствий случайного характера квантовых измерений является то, что состояние нельзя сравнивать с набором физических свойств, которые меняются во времени. В квантовой механике состояние и физические величины являются двумя отдельными понятиями и представлены двумя разными математическими объектами. Дирак показал, что это эквивалентно связывать временную эволюцию с квантовым состоянием или физическими величинами, которые в квантовой механике называются наблюдаемыми .
Резюме
Понятие состояния в классической механике
В классической механике состояние системы представлено набором физических величин, по которым могут быть определены все свойства рассматриваемой системы. Например, в случае материальной точки состояние полностью описывается данными вектора положения и импульса . Другими словами, состояние системы определяется точкой в фазовом пространстве , размерность которой составляет 6 для материальной точки. После того, как состояние системы было определено путем измерения, можно, с одной стороны, вычислить все измеряемые величины в системе, такие как кинетическая и потенциальная энергия, но также вычислить состояние системы в более поздний момент времени благодаря фундаментальным уравнение динамики . р M → <\ displaystyle <\ vec 
п M → знак равно м . v M → <\ displaystyle <\ vec
Пространство состояний зависит от рассматриваемой системы: если мы больше не рассматриваем одну, а N материальных точек, состояние системы будет идентифицироваться точкой в векторном пространстве размерности 6N, потому что необходимо отслеживать положение и импульс каждой из N материальных точек; в случае сплошной среды , такой как жидкость или деформируемое твердое тело , или даже в случае электромагнитного поля, состояние системы описывается полями, образующими векторное пространство бесконечной размерности: скалярный потенциал и векторный потенциал , поле деформаций, массовая плотность, векторы скорости,… Здесь, опять же, могут быть получены другие измеримые физические величины (поле давления, силы, действующие на объект), и состояние системы в данный момент может быть выведено мгновенно из динамических законов. ( уравнения Навье-Стокса , уравнения Максвелла ). В общем, когда система подчиняется лагранжевой механике , ее состояние можно описать с помощью обобщенных координат . т + τ <\ Displaystyle т + \ тау> т <\ displaystyle t>
Детерминизм эволюции состояний в классической механике описывается особенно ясно , как по Лапласу:
«Мы должны рассматривать нынешнее состояние вселенной как следствие ее предыдущего состояния и как причину следующего. Разум, который в данный момент знал бы все силы, которыми оживляется природа, и соответствующее положение составляющих ее существ, если бы он был достаточно большим, чтобы представить эти данные для анализа, охватывал бы в той же формуле движения самых больших тел во Вселенной и легчайшего атома: для нее не было бы ничего неопределенного, и будущее, как и прошлое, было бы для нее настоящим. «
— Пьер-Симон де Лаплас , Философский очерк вероятностей (1814 г.)
В статистической механике состояние описывается иначе: как распределение вероятностей в пространстве состояний. Однако понятно, что это описание является лишь приближением, связанным с нашей неспособностью точно измерить состояние системы, содержащей большое количество степеней свободы .
Понятие состояния в квантовой механике — состояние и измерение
В квантовой механике невозможно предположить, что физические величины, такие как положение или скорость, имеют определенное значение, которое можно измерить без нарушения системы. Вместо этого наблюдения, сделанные в системе, изменят ее состояние, поэтому результаты последующих измерений будут зависеть от набора измерений, выполненных ранее. Следовательно, состояние системы должно определяться независимо от наблюдаемых физических величин и, скорее, рассматриваться как описание того, что было сделано с системой, а также результатов, полученных во время измерений. Паули назвал «идеализацией стороннего наблюдателя» точку зрения, согласно которой состояние сводится к списку физических величин, существовавших до измерения. Математически это различие приводит к использованию двух разных объектов для представления состояния и наблюдаемых в системе.
Кроме того, в квантовой механике необходимо иметь дело с неприводимо случайным характером результатов измерений. Рассмотрим, например, квантовый эквивалент материальной точки, то есть частицу без спина. В наблюдаемых физических величинах , или более просто наблюдаемые, в действительности же в обеих случаях: положение, импульс, кинетическая энергия, потенциальная энергия, полная энергия и т.д. быть в состоянии подготовить нашу частицу в хорошо определенном состоянии я. Мы можем представить эксперимент, позволяющий измерить положение, например, путем освещения частицы, который даст в результате: «частица находится в r 1 ». Тогда мы могли бы сделать вывод, что положение частицы, приготовленной в состоянии i, равно r 1 . Однако, если мы повторим эксперимент, снова поместив частицу в состояние i, мы получим другое положение r 2 ≠ r 1 «За исключением особых случаев», это будет то же самое с любой другой наблюдаемой величиной.
Со временем физики убедились, что этот экспериментальный факт был вызван не экспериментальной неопределенностью во время измерения или даже случайной подготовкой от одного раза к другому (в состоянии i ‘ i), а скорее тем, что состояние не определяет измерение результаты с уверенностью. Это особенно хорошо видно во время экспериментов, подчеркивающих квантовую дополнительность , где, несмотря на измерения, позволяющие получить точное состояние, результаты последующих измерений остаются случайными. ≠ <\ displaystyle \ neq>
Однако при статистической обработке значений r 1 , r 2 , . полученных во время повторных измерений положения, как показано на первом рисунке ниже, некоторые из них получаются чаще, чем другие. Таким образом, если значение, полученное в конце каждого отдельного измерения, неизвестно, состояние определяет распределение вероятностей, связанное с каждой из наблюдаемых в системе, и его знание позволяет нам делать вероятностные прогнозы по результатам измерения. Затем можно определить статистические величины, такие как среднее значение положения или стандартное отклонение положения (отмеченное и, соответственно, в случае положения, и в случае любого наблюдаемого O, также называемое неопределенностью относительно величина O, когда частица находится в состоянии i ). >»> р > <\ Displaystyle >«> Δ р <\ displaystyle \ Delta \ mathbf >»> О > <\ Displaystyle >«> Δ О <\ displaystyle \ Delta O> Δ О <\ displaystyle \ Delta O>
Интересный частный случай соответствует состояниям, для которых неопределенность ΔO равна нулю для одной из наблюдаемых O. Затем мы находим предсказание классической механики: в одном из этих состояний измерение O всегда будет давать один и тот же результат. Для того, чтобы различать эти состояния там другие государства, они называются собственными состояниями наблюдаемой O . Собственные состояния полной энергии имеют то преимущество, что они не меняются с течением времени: если частица находится в данном энергетическом состоянии, она будет оставаться в этом состоянии после этого.
Наконец, последний частный случай позволяет уточнить, что подразумевается, когда мы говорим, что частица находится в двух состояниях одновременно. Мы можем представить себе состояние, в котором распределение вероятностей величины O разбито на два значения. Фактически, частица фактически находится только в одном состоянии, но это квантовое состояние даст два возможных результата при измерении O.
Гистограмма : статистика результатов N = 5000 измерений положения набора из N частиц, приготовленных в одном и том же состоянии. Кривая : плотность вероятности присутствия, приведенная к той же шкале.
Источник
Квантовая песочница: часть 2
Квантовая песочница: часть 1
Что такое квантовое состояние? Чем обычное состояние отличается от квантового? В какой момент обычное состояние становится квантовым и что будет, если от него отнять квантовости? Оно всё еще будет квантовым или уже превратится в обычное? Оно же только что было квантовым. Наверное, оно стало запутанным, и кот тоже стал запутанным.
В данной статье постараемся ответить на эти вопросы и разобраться в сути квантовой механики.
Цель: написать простую программу, «имитирующую» квантовую эволюцию, чтобы наконец можно было пощупать эти кубиты ручками.
Оглавление:
- Часть I: Классическое состояние
- Часть II: Квантовое состояние
- Часть III: Кот
- Часть IV: Рой
Что такое обычное «состояние»? Этим термином пользуются так часто, что он начал восприниматься полностью интуитивно.
Часть I: Классическое состояние
Вопрос №1: «Дана частица P, которую можно наблюдать вдоль отрезка
. Что такое состояние частицы P?»
Ответ: Классическое состояние частицы P — число из отрезка
Внимательного читателя привлечет слово «наблюдать» — как это вообще понимать?
Оказалось, что все это время на участке были расположены какие-то «детекторы», которые «наблюдали», но почему мы о них ничего не сказали? И сколько их там вообще штук?
Мы сказали, что состояние частицы — число из отрезка . Мощность множества равна континууму — между нашими «границами» А и B находится бесконечно много чисел, причем они расположены бесконечно близко друг к другу — значит нам требуется бесконечно много детекторов для каждой точки? Звучит довольно затратно, не так ли?
А ведь, утверждая, что состояние есть число, мы, получается, подразумеваем именно это. Именно то, что у нас в наличии бесконечно много детекторов. Но ведь это не так. И такого не может быть в принципе.
На практике мы бы разбили отрезок на конечное число сегментов, а в пересечениях поставили бы детекторы, и каждый детектор был бы способен приближенно сообщить, есть ли частица в его окрестности или нет.
То, что было сделано выше называется квантованием. В данном случае мы провели квантование отрезка на сегменты. Квант — неделимая порция чего-либо в рамках используемой модели, абстрактный термин.
Самые интересные явления начинаются именно по той причине, что состояние частицы теперь перестало быть просто числом.
Часть II: Квантовое состояние
Вопрос №2: «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности некоторого числа детекторов на отрезке
Ответ: .
Дан отрезок и два детектора, расположенные в точках A и B.
Каждый детектор показывает какое-то определенное число, согласно которому мы можем определить, как далеко находится частица от данного детектора.
A — первый детектор, — его показания ( = 1, если частица попала прямо в А)
B — второй детектор, — его показания ( = 1, если частица попала прямо в В)
Выдвинем предположение о частице, чтобы как-то ограничить круг наших исследований:
Предположение: Частица одна, она не может просто так взять и клонировать себя.
Из этого предположения следует, что если частица в А, то она не может быть в В, и наоборот.
Или, что то же самое, если = 1, то = 0 и наоборот.
Теперь рассмотрим «движение» частицы от детектора А к детектору В. Частица была в А ( = 1, = 0), затем она начала лететь к В. Показания детектора А начали уменьшаться ( 0). Затем частица достигла детектора В и его показания равны = 1, а детектор А оповещает нас, что частицы в нем нет = 0.
Таким образом, мы описываем состояние частицы с помощью самих детекторов и их показаний.
Это запись означает, что конфигурация X включает в себя детектор A, показывающий нам число c1, и детектор B, показывающий нам число c2.
Вопрос №2: «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности детекторов, расположенных в точках A и B, которые являются квантованием отрезка
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Ответ: Квантовое состояние частицы P — вектор двумерного гильбертова пространства
Вопрос №2 (обобщенный): «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности конечного числа детекторов, расположенных в точках
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Ответ: Квантовое состояние частицы P — вектор N-мерного гильбертова пространства
Часть III: Кот
Мы вплотную подошли к самым интересным проявлениям квантовой механики. Без сомнения каждый из читателей хоть краем уха слышал о таких терминах, как «квантовая суперпозиция» или «квантовая запутанность» — эти эффекты и другая подобная магия начинаются именно в тот момент, когда вы не будете делать тех умозаключений, которые не требуются.
У нас есть два определения состояния.
Определение №1: Классическое состояние частицы P — число из отрезка
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Определение №2: Квантовое состояние частицы P — вектор двумерного гильбертова пространства …
Обычно из каких-то определений выводят следствия, здесь же нас будет интересовать то, что не следует из определения, но мы все равно назовем это следствиями для стройности.
Следствие №1: Из определения квантового состояния не следует, что частица находится в одной точке отрезка. Вообще ниоткуда никак не следует.
То есть частица может находится сразу в двух точках! Например для частицы, которая находится в квантовом состоянии не следует, что она находится в одной точке. Да, может быть она где-то посередине, в какой-то точке M между A и B, но утверждая подобное, мы проявим необоснованную вольность.
Следствие №2: Из определения квантового состояния не следует, что частица разделилась на маленькие кусочки, одни кусочку полетели туда, а другие сюда.
Как это вообще понимать? Как частица может находится сразу в двух точках и при этом оставаться неделимой? Мы же привыкли, что кот Шрёдингера и жив, и мертв одновременно, значит и частица тоже и здесь, и там одновременно. Но ведь она же неделима. Она что растянулась?
Введем понятие роя и экземпляра виртуальных частиц.
Часть IV: Рой
Определение №3: Экземпляр частицы — виртуальный объект, которому соответствует положение в пространстве в данный момент времени, траектория движения с течением времени, а также комплексное число (называемое амплитудой), обладающее модулем и аргументом, для которого справедливы все алгебраические правила:
Определение №4: Рой — совокупность экземпляров.
Определение №5: Частица — рой (при выполнении операции квантования пространства).
Представим экземпляр как шарик, внутри которого есть стрелка, соответствующая комплексному числу в комплексной плоскости. Важно понимать, что шарик может иметь одно направление движения, а стрелка внутри него — другое, то есть эти направления разные.
Но почему разные? Дело в том, что процессы внутри элементарной частицы настолько сложно описать, что влияние этих процессов на движение самой частицы невозможно предсказать на фундаментальном уровне, поэтому и связи между стрелкой внутри шарика и направлением движения самого шарика для нас не существует.
Словесные манипуляция, которые мы сейчас совершили, бесполезны, если не определить законы изменения величин r, φ и закон движения, ведь в них все и упирается.
Закон изменения аргумента: φ постоянно равномерно увеличивается на величину dφ по мере движения экземпляра.
Иными словами, наши комплексное стрелки постоянно крутятся в одном и том же направлении. Зачем это нужно? Чтобы система ни при каких обстоятельствах не перестала эволюционировать.
Закон сложения и умножения: По мере движения вдоль одной траектории амплитуды перемножаются. Амплитуды вдоль всевозможных траекторий складываются.
Данный закон также известен как «принцип суперпозиции в квантовой механике»
Закон движения экземпляров в пространстве:Пусть дана частица в квантовом состоянии. Дан экземпляр, которые находится в какой-то клетке пространства (над которым была произведена операция квантования на клетки). Вокруг этой клетки пространства есть соседние клетки.
- Данный экземпляр клонирует себя столько раз, сколько вокруг него существует соседних точек
- Каждый клон движется в ту соседнюю точку, которая ему соответствует
- Данный экземпляр-отец движется в произвольную точку
Процесс повторяется для каждого экземпляра.
| 1. Внутри каждого шарика находится та самая комплексная стрелка, которая крутится на угол dφ после каждого перемещения экземпляра из одной клетки в другую. | 2. Таким образом у нас есть огромная динамическая система, которая постоянно клонирует себя. | 3. Направление движения самого первого экземпляра, в целом, определяет движения роя, но рой тем не менее распространяется во все стороны. Если же отследить движение любого отдельного экземпляра (не обращая внимание на клонов), то он будет двигаться по абсолютно случайной траектории. |
Мы не забываем, что внутри каждого шарика находится комплексная стрелка, которая имеет свое направление и длину. Как предсказать, какая результирующая стрелка окажется в произвольной клетке пространства в данный момент времени? Очевидно, для этого нужно знать, что было со всей системой в предыдущий момент времени. Мы получаем дифференциальное уравнение (его называют уравнением Шрёдингера в честь Шрёдингера, который его и открыл).
Закон движения экземпляров в пространстве: Пусть —
Формирование оператора энергии «по кусочкам ручками» будет рассмотрено в следующей статье.
Конструктивно, мы разобрались со следующими понятиями:
- Классическое состояние частицы как число (а не как что-либо еще)
- Квантовое состояние частицы как вектор (а не как «то, что находится сразу в нескольких местах»)
- Частица как рой (при выполнении операции квантования)
- Принцип суперпозиции роя, согласно которому амплитуды вдоль одной траектории перемножаются, а вдоль всевозможных траекторий складываются
- Закон движения экземпляров
В следующей статье мы рассмотрим самое интересное — системы с произвольным количеством частиц. Разберем, что же такое тензоры, запутанные состояния и, наконец, напишем программу, способную «имитировать» квантовую эволюцию и удобно её отрисовывать.
Источник
