Что значит квадрат числа куб числа

Степень числа. Квадрат и куб числа

Определение.

Степенью числа «» с натуральным показателем ««, большим 1, называется произведение «» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу ««.

Выражение «» читают так: » в степени » или » — ая степень числа «, и называют степенью. При этом в этой записи число «» называют основанием степени, а число ««, которое показывает число множителей в произведении, — показателем степени.

Например, найдем значение следующих степеней:

2 4 = 2222 = 422 = 82 = 16;

3 6 = 333333 = 93333 = 27333 = 8133 =2433 = 729.

Квадрат числа — это вторая степень числа. Квадрат числа записывают так: . Читают: » в квадрате» или » во второй степени».

Например, найдем квадрат чисел 4 и 8:

4 2 = 44 = 16;

8 2 = 88 = 64.

Куб числа — это третья степень числа. Куб числа записывают так: . Читают: » в кубе» или » в третей степени».

Например, найдем куб чисел 5 и 7:

5 3 = 555 = 255 = 125;

7 3 = 777 = 495 = 343;

Степенью числа «» с показателем = 1 является само это число, то есть .

Ноль в любой степени — это ноль, единица — это единица.

Действительно, т.к. степень можно расписать как произведение, то, если в основании находится ноль, то мы получим произведение n нолей, если единица — произведение n единиц.

Возведение числа в степень — это пятое арифметическое действие, поэтому стоит учитывать, что:

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом — остальные действия, в соответствии с порядком их выполнения.

Например, найдем значение выражения 64 2 — (3 + 2):

Сначала выполним возведение во 2 степень числа 4, затем находим значение выражения, находящегося в скобках, после чего выполняем умножение, и последним действием выполняем вычитание:

64 2 — (3 + 2) = 616 — (3 + 2) = 616 — 5 = 96 — 5 = 91.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Урок 25 Бесплатно Степень числа. Квадрат и куб числа

На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.

Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».

Научимся вычислять квадрат и куб числа.

Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.

Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.

Степень числа

Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.

Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4

В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.

В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.

Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.

В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:

а n — это произведение числа а на само себя n раз.

а— любое натуральное число.

Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».

Число а называют основанием (число, возводимое в степень).

n— это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).

Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.

Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.

Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:

4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 5

Читают данную запись следующим образом:

4 5 — четыре в пятой степени.

1)Вычислим значение степени 2 3 , т.е. возведем число два в третью степень.

Данная степень равна произведению трех двоек.

2— основание степени.

3— показатель степени.

2) Вычислим значение степени 5 4 , т.е. возведем число пять в четвертую степень.

Данная степень равна произведению четырех пятерок.

5— основание степени.

4— показатель степени.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Квадрат и куб числа

Вторую степень числа называют квадратом числа.

Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: а ∙ а = а 2 (говорят и читают «а в квадрате»).

2 2 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».

10 2 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».

27 2 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».

Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в квадрате равняется одному: 1 2 = 1 ∙ 1 = 1.

Два в квадрате равняется четырем: 2 2 = 2 ∙ 2 = 4.

Три в квадрате равняется девяти: 3 2 = 3 ∙ 3 = 9.

Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 4 2 = 4 ∙ 4 = 16.

Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 5 2 = 5 ∙ 5 = 25.

Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 6 2 = 6 ∙ 6 = 36.

Семь в квадрате равняется сорока девяти: 7 2 = 7 ∙ 7 = 49.

Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 8 2 = 8 ∙ 8 = 64.

Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 9 2 = 9 ∙ 9 = 81.

Десять в квадрате равняется сотне: 10 2 = 10 ∙ 10 = 100.

Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел

а

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а 2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.

Решим уравнение х 2 = 49.

Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).

По таблице квадратов видно, что 49 = 7 2 .

Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.

х 2 = 49

х = 7

Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х 2 = 49, получим:

7 2 = 49

7 ∙ 7 = 49

49 = 49

Ответ: х = 7.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Чтобы возвести в любую степень число 10, необходимо дописать после единицы нули, количество которых показывает показатель степени.

Разберем пример первый.

Найдите четвертую степень десяти (десять в четвертой степени 10 4 ).

10— это основание.

4— это показатель степени.

Так как по вышеизложенному правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:

10 4 = 1 0000

На самом деле, если перемножить (по определению степени) четыре десятки, то получим:

10 4 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 0000

Пример второй: найдите третью степень десяти (десять в третьей степени 10 3 ).

10— это основание.

3— это показатель степени.

Так как по правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:

10 3 = 1 000

Соответственно, если перемножить (по определению степени) три десятки, то получим:

10 3 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 000

Рассмотрим обратную ситуацию:

Представим число 100 в виде степени с основанием 10.

Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 00 ).

Число 100 содержит два нуля, следовательно, это число в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:

1 00 = 10 2

10— это основание.

2— это показатель степени.

Рассмотрим еще один подобный пример.

Представим число 10000 в виде степени с основанием 10.

Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 0000 ).

Данное число содержит четыре нуля, следовательно, 10000 в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:

1 0000 = 10 4

10— это основание.

4— это показатель степени

Третья степень числа тоже имеет свое название.

Число в третьей степени называют кубом числа.

Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: а ∙ а ∙ а = а 3 (говорят и читают «а в кубе»).

2 3 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».

10 3 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».

27 3 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».

Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в кубе: 1 3 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1.

Два в кубе: 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.

Три в кубе: 3 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Четыре в кубе: 4 3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.

Пять в кубе: 5 3 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

Шесть в кубе: 6 3 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216.

Семь в кубе: 7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 343.

Восемь в кубе: 8 3 = 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512.

Девять в кубе: 9 3 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729.

Десять в кубе: 10 3 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000.

Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица кубов первых десяти натуральных чисел

а

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а 3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.

Представим в виде куба число 343.

По таблице кубов видим, что 343 = 7 3

Проверим: найдем произведение трех семерок:

7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 49 ∙ 7 = 343

Ответ: 343 = 7 3 .

На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.

Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.

Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.

Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.

За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.

Рассмотрим поясняющие примеры.

При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.

Пример 1.

Найдите значение выражения 8 2 ÷ 4 — 10.

Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).

8 2 ÷ 4 — 10 = 6

1) 8 2 = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).

2) 64 ÷ 4 = 16

3) 16 — 10 = 6

Пример 2.

Найдите значение выражения (21 — 11) 2 ∙ 2 3 .

Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.

(21 — 11) 2 ∙ 2 3 = 800

Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.

Найдем разность 21 и 11.

1) 21 — 11 = 10

Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.

Найдем, чему равно 10 2 по определению степени или по таблице квадратов.

2) 10 2 = 10 ∙ 10 = 100

Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.

Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.

3) 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Далее перемножим результаты, полученные в во втором и в третьем действии соответственно, т.е. найдем произведение 100 и 8 .

4) 100 ∙ 8 = 800

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

С давних пор основными арифметическими операциями являются операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Представление о степени, как об отдельной операции возникло не сразу.

Однако степени применялись при вычислении площадей и объемов уже у древних народов: степень числа высчитывали при решении различных задач в Древнем Египте, Древней Греции, в Вавилоне.

Диофант Александрийский древнегреческий математик, философ (III век н.э.) в своем знаменитом труде «Арифметика» описал первые натуральные степени чисел.

Диофант первым из античных ученых предложил специальные обозначения для шести степеней неизвестного (квадрат, куб, квадрато-квадраты, квадрато-кубы и т.д.)

Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи (пифагорейцы) проявляли большой интерес к числам, искали в них скрытый смысл, закономерности и приписывали им различные свойства.

Пифагорейцы предполагали, что каждое число можно представить в виде фигуры.

Так, например, числа 4, 9, 16, 25 они представляли в виде квадратов.

В Древнем Вавилоне для вычисления и расчетов был создан целый ряд вычислительных таблиц: таблицы умножения, таблицы квадратов и кубов и многие другие.

В Древней Индии успешно развивалась наука.

Высоких результатов индийцы добились в астрономии, медицине, математике.

Индийские ученые часто оперировали большими числами.

В Древней Индии существовало понятие степени числа, математики того времени умели вычислять площади и объемы фигур, разработали алгоритмы вычисления всех арифметических операций, в том числе определение степени числа.

Важнейшим открытием индийских ученых в математике стало изобретение позиционной системы счисления, а также запись (чтение) чисел, для каждой цифры был придуман свой знак.

Математические труды их были изложены в основном в словесной форме на древнеиндийском языке в священных писаниях, книгах, сказаниях.

Потребность в решении более сложных математических задач со степенями заставляла ученых разных стран расширять понятие о степени, систематизировать и обобщать известные уже данные о ней.

В начале XV века самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид Аль-Каши рассматривал нулевой показатель степени, в это же время французский ученый Никола Шюке применял в своих трудах нулевой и отрицательный показатель степени.

В 1544 г. немецкий математик Михаэль Штифель в своей книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие «Показатель степени».

Постепенно понятие степени становится все шире, оно применяется не только к числу, но и к переменной.

Математики средневековья пытались установить единое обозначение степени и сделать ее компактней.

Французский ученый математик Франсуа Виет ввел буквенное обозначение (N, Q, C) для первой, второй и третьей степени.

Нидерландский математик Симон Стевин предложил называть степень по их показателям, отвергая тем самым словесные обозначения степеней, составленные Диофантом.

Современное обозначение степеней (а n ), где а-основание степени, n-показатель степени, ввел французский математик Рене Декарт.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник