Что значит корень имеет смысл

Свойства корней (ОГЭ, ЕГЭ 2022)

А сейчас мы рассмотрим свойства корней.

Квадратный корень, кубический корень и корень в N-ой степени.

Порешаем задачки, чтобы к концу этого занятия все, что касается корней (в любой степени) было тебе абсолютно понятно!

И, самое главное, чтобы ты смог решить любую задачу c корнями на экзамене!Поехали!

Свойства корней — коротко о главном

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a\)

Свойства корней:

Для любого натурального \( n\), целого \( k\) и любых неотрицательных чисел \( a\) и \( b\) выполнены равенства:

\( \sqrt[n]=\sqrt[n]\cdot \sqrt[n];\)

\( \sqrt[n]<\frac>=\frac<\sqrt[n]><\sqrt[n]>\text< >\left( b\ne 0 \right);\)

\( \sqrt[n]<\sqrt[k]>=\sqrt[nk]\text< >\left( k>0 \right);\)

\( \sqrt[nk]<<^>>=\sqrt[n]\text< >\left( k>0 \right);\)

при нечетных \( n\): \( \sqrt[n]<<^>>= <<\left( \sqrt[n]\right)>^>\text< >\left( \text<если >k\le 0,\text< >то\text< >a\ne 0 \right)\)

при четных \( k\) и \( n\): \( \sqrt[n]<<^>>= <<\left( \sqrt[n]<\left| a \right|>\right)>^>\text< >\left( \text<если >k\le 0,\text< то >a\ne 0 \right)\)

Арифметический квадратный корень

Когда ты разберешься в этой теме, тебе станет намного легче решать иррациональные уравнения и неравенства.

А пока что давай попробуем разобраться, что это за понятие «корень» и с чем его едят 🙂

Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение \( <^<2>>=4\). Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом \( 4\)?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: \( 2\) и \( -2\) ( ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ \( \sqrt<\ \ >\).

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a\)
\( \left( \sqrt=x,\ <^<2>>=a;\ \ x,a\ge 0 \right)\)

А почему же число \( a\) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен \( \sqrt<-9>\). Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: \( <<3>^<2>>=9\), а не \( -9\). Может, \( \left( -3 \right)\)? Опять же, проверяем: \( <<\left( -3 \right)>^<2>>=9\). Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако самые внимательные уже наверняка заметили, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа \( a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a\)».

Кто-то из вас скажет, что в самом начале мы разбирали пример \( <^<2>>=4\), подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом \( 4\), ответ было \( 2\) и \( -2\), а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

Квадратное уравнение или квадратный корень?

К примеру, \( <^<2>>=4\) не равносильно выражению \( x=\sqrt<4>\).

Из \( <^<2>>=4\) следует, что \( \left| x \right|=\sqrt<4>\), то есть \( x=\pm \sqrt<4>=\pm 2\) или \( <_<1>>=2;\ <_<2>>=-2\).

А из \( x=\sqrt<4>\) следует, что \( x=2\).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как \( 2\), так и \( -2\).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение \( <^<2>>=3\).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: \( <<0>^<2>>=0\) – не подходит.

Двигаемся дальше \( \text=1;\ <<1>^<2>>=1\) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если \( x=2\); \( <<2>^<2>>=4\) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между \( 1\) и \( 2\), а также между \( -2\) и \( -1\).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше?

Давай построим график функции \( y=<^<2>>\) и отметим на нем решения. (Прочти по ссылке как использовать график функции для решения уравнений)

Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из \( 3\), делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что \( \sqrt<3>=1,732050807568…\).

Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. \( \sqrt<3>\) и \( -\sqrt<3>\) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления.

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной \( \displaystyle 1\) км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: \( <^<2>>=<^<2>>+<^<2>>\). Таким образом, \( <^<2>>=1+1=2\).

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что \( c=\sqrt<2>\). Корень из двух приблизительно равен \( 1,41\), но, как мы заметили раньше, \( \sqrt<2>\) -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от \( 1\) до \( 20\), а также уметь их распознать.

К примеру, необходимо знать, что \( 15\) в квадрате равно \( 225\), а также, наоборот, что \( 225\) – это \( 15\) в квадрате.

Вот тебе полная таблица квадратов чисел. Сверху строка — основание степени, слева в столбик показатель степени, на пересечение искомое значение степени. Запомнить нужно только то, что выделено зеленым.

Уловил, что такое квадратный корень? Тогда порешай несколько примеров.

Источник

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

Значение слова «корень»

1. Подземная часть растения, посредством которой оно укрепляется в почве и получает из земли воду с растворенными в ней минеральными веществами. Корни деревьев плохо держались в илистой почве. Паустовский, Колхида. Василий Петрович полол под вишнями бурьян и вырывал с корнем наиболее упорные кустики желтой ромашки. Катаев, Хуторок в степи. || Древесина или вещество этой части растения. Лакричный корень. Мыльный корень. | Об отдельном растении (при счете). Тохпан добавил, что молодежь берется посадить уже пятьдесят тысяч корней без отрыва от основной работы. А. Кожевников, Живая вода. — Усадьба тридцать соток —, садок яблоневый на двенадцать корней, двадцать виноградных кустов. Закруткин, Плавучая станица. || мн. ч. (коре́нья, —ьев). Подземные части и зелень некоторых растений (моркови, петрушки, сельдерея и т. п.), употребляемые в пищу. Суп с кореньями.

2. Внутренняя, находящаяся в теле часть волоса, зуба, ногтя. Корень зуба. Корни волос. || Основание, место соединения органа с телом. Корень языка.

3. перен. Начало, источник, основа чего-л. Корень зла. Корень ошибок. □ — Из глубины тысячелетий идут корни нашего советского братства. А. Кожевников, Живая вода. || Устар. и разг. Род, семья; начало поколения. В Скобеевке было более двадцати дворов Борисовых и все — от одного корня. Фадеев, Последний из удэге. — С кем дружишь — мне говори. Я их отцов всех знаю. Какого кто корня, мне все известно. Горбатов, Мое поколение.

4. Грамм. Основная часть слова (без приставок и суффиксов), которая не поддается дальнейшему разложению на значащие составные части.

5. Мат. Число, дающее данное число при возведении его в определенную степень. Извлечь квадратный корень. Кубический корень.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

• Ко́рень (лат. radix) — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

На корне нет листьев, в клетках корня нет хлоропластов.

Кроме основного корня, многие растения имеют боковые и придаточные корни. Совокупность всех корней растения называют корневой системой. В случае, когда главный корень незначительно выражен, а придаточные корни выражены значительно, корневая система называется мочковатой. Если главный корень выражен значительно, корневая система называется стержневой.

Некоторые растения откладывают в корне запасные питательные вещества, такие образования называют корнеплодами.

КО’РЕНЬ, рня, мн. рни, рне́й, м. 1. Вросшая в землю часть растения, через к-рую оно всасывает соки из почвы. Бурей выворотило

деревья с корнями. Дуб глубоко пустил корни в землю.

|| Древесина или вещество этой части растения. Лакричный к. Мыльный к. (см. мыльный). 2. У волос, зубов, ногтей, когтей и т. п. часть, вросшая в тело. К. зуба. Корни волос. || Основание, место, которым орган соединяется с телом (редко). К. языка. 3. перен. Начало, происхождение (книжн.). Корни крепостного права теряются в отдаленной древности. || Род, поколение, сословие (устар.). Боярский к. 4. перен. Основа, суть, источник (книжн.). К. зла. К. всех бед. Иметь глубокие крепкие корни в чем-н. Докопаться до корня. Большевистская советская революция подрезывает корни угнетения и неравенства женщин. Лнн. 5. Основная часть слова без приставок и суффиксов (грам.). Корнем слова «извозчик» является «воз». 6. Величина, к-рая при возведении в определенную степень дает данное число (мат.). Извлечь квадратный к. Кубический к. из 8 равняется двум. К. пятой степени из 243 равен трем. || Решение уравнения, величина искомого, превращающая уравнение в тождество (мат.) К. уравнения. ◊

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

ко́рень

1. ботан. разветвлённая подземная часть растения, орган, обеспечивающий закрепление (укоренение) в почве, подпитку водой и другими веществами, а в отдельных случаях и для вегетативного размножения ◆ Любимая пища фазанов — корни трав, которые они выкапывают своими крепкими ногами. М. А. Лялина, «Путешествия H. М. Пржевальского в восточной и центральной Азии», 1891 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Лес не так высок, но колючие кусты, хмель и другие растения переплетают неразрывною сеткою корни дерев, так что за 3 сажени нельзя почти различить стоящего человека. Лермонтов, «Вадим», 1833 г.

2. обычно мн. ч. родословная, поколение; предки ◆ Читатели этих строк видят, что я по всем линиям происходил от немецких корней, — он научил меня быть русским, потому что сам был истинно русский человек, душою и сердцем. Н. И. Греч, «Записки о моей жизни», 1849–1856 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Иегуди говорил на всех языках — немецком, английском, польском, французском и даже русском, поскольку у него были русские корни. Сати Спивакова, «Не всё», 2002 г. (цитата из НКРЯ)

3. анат. скрытая, заглублённая часть основания чего-либо, например органа живого организма (волоса, зуба и т. п.) ◆ Такая процедура улучшает кровоснабжение головы и укрепляет корни волос. И. Покровская, М. Алексейкина, «По волосам не плачут», 1999.03.15 г. // «Здоровье» (цитата из НКРЯ) ◆ В толще зуба имеется небольшая полость зуба, cavitas dentis, которая образуется из полости коронки, продолжающейся в корень зуба в виде канала корня зуба. Рудольф Самусев, Юрий Селин, «Анатомия человека», 2003 г. (цитата из НКРЯ)

4. перен. скрытый источник, первопричина какого-либо явления (часто с негативной коннотацией: корень проблемы, корень зла, корень всех бед) ◆ Но оказалось, что эти грани ленинского характера не были главными, основными, определяющими суть, корень рождающейся нови. Василий Гроссман, «Всё течёт», 1955–1963 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Нужен ли нам этот жёсткий западный мир? Или, как утверждают некоторые «патриоты», нам навечно предназначен социализм, уходящий корнями в общинный строй? Григорий Горин, «Нигде столько не жалуются на жизнь…» (1991) // «Столица», советский еженедельный общественно-политический журнал. — Выпуск № 28 (34). — Июль 1991 г. (цитата из НКРЯ) ◆ В этом был корень всех трудностей экспериментаторов вплоть до Лебедева. Геннадий Горелик, «Андрей Сахаров. Наука и свобода», 2004 г. (цитата из НКРЯ)

5. лингв. основная, центральная часть слова, несущая его лексическое значение ◆ Корень имеется в каждом слове, и слово может состоять из одного или нескольких корней.

6. матем. число, при подстановке в уравнение дающее тождество; при подстановке в многочлен дающее 0 ◆ Темой лекции было нахождение корня трёхчлена.

7. матем. число, получаемое из данного с помощью операции, обратной возведению в степень; функция, возвращающая данное число ◆ Он с удивительной лёгкостью вычислял квадратный корень из шестизначного числа с точностью до второго знака после запятой.

Источник

Читайте также:  Что значит формировать десну при имплантации