Урок 7 Бесплатно Координатный луч
В прошлых уроках Вы узнали, что такое натуральные числа — это числа, используемые при счете предметов.
Также мы успели поговорить про шкалы — линии с отмеченными на них величинами, которые помогают нам определить ту или иную величину.
Сегодня мы рассмотрим в некотором смысле “шкалу” для натуральных чисел — координатный луч, узнаем, что скрывается за этим определением.
Ответим на вопрос, почему луч подходит больше всего для обозначения натуральных чисел, а также научимся определять с помощью него длины отрезков.
Определение
Луч- это часть прямой ограниченная с одной стороны точкой, называемой началом луча.
Начертим луч с началом в точке О так, чтобы он шел слева направо, и отметим на нем точку А не очень далеко от начала.
Отрезок ОА назовем единичным отрезком.
Далее отложим от точки А следующий отрезок АВ, равный отрезку ОА.
Затем отложим от точки В отрезок ВС, также равный единичному отрезку.
Продолжим процесс, уже не называя точки.
Теперь напишем над точкой O число 0, над точкой А число 1, над точкой В число 2, над С — 3 и так далее.
Так мы получили шкалу, которую называют координатным лучом.
В самом деле, для шкалы нам необходимы были такие объекты, как штрих, деление, цена деления, посмотрим, чем они представлены в данном случае.
В роли штрихов выступают точки.
Изображая координатный луч, можно точки обозначать как небольшие штрихи, это ничуть не делает рисунок менее точным.
Делением в данном случае является отрезок между любыми соседними точками.
Этот отрезок всегда равен единичному по построению, ведь мы всегда откладывали отрезок, равный единичному.
Ценой деления в данном случае является единица.
Может быть немного непривычно, что единица идет без наименования, ведь на других шкалах обычно цена деления 1 кг, 1 см, 1 км/ч.
Но здесь идет измерение натуральных чисел, поэтому просто единица.
Так что координатный луч вполне можно считать шкалой.
Если же говорить про более конкретное определение, то вот оно.
Координатный луч — луч с указанным для него единичным отрезком.
Нередко к этому определению добавляют помимо единичного отрезка еще два объекта: точку начала отсчета и направление увеличения чисел.
В сущности они не обязательны, ведь на луче уже есть точка — точка начала луча.
А на координатном луче точка начала отсчета и точка начала луча всегда совпадают.
Направление задавать тоже нет необходимости, ведь у луча только одно вполне определенное направление: от начала.
Единичный отрезок же необходим, ведь без него не будет одинакового расстояния между соседними точками и смысла в луче не будет.
Отметим важный момент: в одном координатном луче всегда один единичный отрезок.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Координаты
Мы уже поговорили про координатный луч, но важно понять, почему он “координатный” и как определены координаты в данном случае.
Обычно можно услышать слово “координаты” в географическом контексте.
Когда мы узнаем координаты, а это два числа, то можем однозначно сказать, про какую точку на карте идет речь.
Другими словами, в географическом смысле, координаты являются числами, определяющими положение точки на карте.
В случае с координатным лучом все даже проще.
Ведь если карта — двумерный объект, то есть, если перед нами лежит карта, нам нужно одно число, чтобы определить, как высоко расположена точка, а второе число, чтобы определить насколько она смещена вправо или влево, то на луче точка может быть лишь дальше или ближе от его начала.
Координата точки на координатном луче соответствует количеству единичных отрезков между этой точкой и точкой начала отсчета.
Посмотрим еще раз на рисунок из прошлой главы:
Точка А находится на расстоянии одного единичного отрезка от точки начала отсчета.
Точке А соответствует число 1
Точка В находится на расстоянии двух единичных отрезков от точки начала отсчета.
И точке В соответствует число 2
Аналогично каждой следующей точке соответствует число на единицу больше.
Число, соответствующее точке на координатном луче, называют координатой этой точки.
Заметим теперь, как соответствуют друг другу натуральный ряд и координатный луч.
За исключением точки начала отсчета, каждой точке соответствует натуральное число.
Если смотреть от начала отсчета, то координата следующей точки после данной равна следующему натуральному числу после координаты данной точки.
На том же самом рисунке мы видим, что следующее число за координатой точка В (2) , за точкой В идет точка С и координата точки С (3)
Допустим мы знаем, что точки P и Q — соседние, причем Q находится дальше от точки начала отсчета, чем P.
И также мы знаем, что координата точки P равняется 276
Тогда мы сможем сказать координату точки Q, это будет следующее натуральное число после числа 276, то есть ответ: 277
Аналогичная логика работает и в другую сторону.
Координата точки, идущей перед данной, является предыдущим натуральным числом по отношению к координате данной точки.
Так, если координата точки В — это 2, то координата точки А будет числом, на единицу меньшим, чем 2, то есть единицей.
Допустим, точки E и R соседние.
Также известно, что R находится дальше от точки начала отсчета, чем Е; а также известна координата точки R, она равна 315
Чтобы найти координату точки Е достаточно взять предыдущее натуральное число от числа 315, это будет число 314
Эти примеры показывают, как натуральный ряд ложится на координатный луч.
Отметим, что именно луч идеально соответствует натуральным числам, ведь и луч, и натуральный ряд ограничены с одной стороны (с начала), но продолжаются бесконечно.
Если же нам надо найти координату точки безотносительно соседних точек, то достаточно отсчитать количество единичных отрезков между данной точкой и точкой начала отсчета.
Найдем координату точки Н.
Между ей и точкой О (началом отсчета) 4 единичных отрезка, значит, координата точки Н равна 4
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Источник
Шкала. Координатный луч
С помощью ровной деревянной рейки две точки A и B можно соединить отрезком (рис. 46 ). Однако этим примитивным инструментом измерить длину отрезка AB не удастся. Его можно усовершенствовать.
На рейке через каждый сантиметр нанесем штрихи. Под первым штрихом нанесем число 0, под вторым − 1, третьим − 2 и т.д. (рис. 47 ). В таких случаях говорят, что на рейку нанесена шкала с ценой деления 1 см. Эта рейка со школой похожа на линейку. Но чаще всего на линейку наносят шкалу с ценой деления 1 мм (рис. 48 ).
Из повседневной жизни Вам хорошо известны и другие измеритильные приборы, имеющие шкалы различной формы. Например: циферблат часов со шкалой деления 1 мин (рис. 49 ), спидометр автомобиля со шкалой деления 10 км/ч (рис. 50 ), комнатный термометр со шкалой деления 1 °C ( рис. 51 ), весы со шкалой деления 50 г (рис. 52 ).
Конструктор создает измерительные приборы, шкалы которых конечны, т. е. среди отмеченных на шкале чисел всегда есть наибольшее. А вот математик с помощью воображения может построить и бесконечную шкалу.
Начерти луч OX. Отметим на этом луче какую−нибудь точку E. Напишем над точкой O число 0, а под точкой E − число 1 (рис. 53 ).
Будем говорить, что точка O изображает число 0, а точка E − число 1 . Также принято говорить, что точке O соответствует число 0, а точке E − число 1 .
Отложим вправо от точки E отрезок, равный отрезку OE. Получим точку M, которая изображает число 2 (см. рис. 53 ). Таким же образом отметим точку N, изображающую число 3 . Так, шаг за шагом, получаем точки, которым соответствуют числа 4, 5, 6, . . Мысленно этот процесс можно продолжать сколько угодно.
Полученную бесконечную шкалу называют координатным лучом, точку O − началом отсчета, а отрезок OE − единичным отрезком координатного луча.
На рисунке 53 точка K изображает число 5 . Говорят, что число 5 является координатой точки K, и записывают K( 5 ). Аналогично можно записать O( 0 ); E( 1 ); M( 2 ); N( 3 ).
Часто вместо слов «отметим точку с координатой, равной . » говорят «отметим число . «.
Источник
Координатный луч
На рисунке изображён луч OE, который разбит на деления, как линейка.
Координатный луч
Точка O — начало луча, и этой точке соответствует число 0.
Эта точка — начало отсчёта.
Точке E соответствует число 1, а длина отрезка OE принята за единицу длины и называется единичным отрезком.
Единичный отрезок может содержать разное число клеток.
Каждая следующая точка отстоит от предыдущей на расстояние, равное единице длины.
Луч OE с началом отсчёта в точке O , на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.
Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки.
Пример. Точке A соответствует число 3.
Точка А на координатном луче
Значит, координата точки A равна 3. Записывается так A (3). Читается: точка A с координатой 3.
Для любого числа можно указать соответствующую ему точку, т. к. луч можно продолжить бесконечно.
Пример #1. Можно ли назвать изображённый луч координатным лучом?
Луч АВ
Решение:
Изображённый луч не будет координатным лучом, т. к. на луче не указано начало отсчёта и нет единичного отрезка.
Ответ: нет.
Пример #2. Можно ли назвать изображённый луч координатным лучом?
Луч МР
Решение:
Изображённый луч будет координатным лучом, т. к. на луче указано начало отсчёта, положительное направление слева направо и отмечено, что второе деление соответствует 6 единичным отрезкам, значит, одно деление соответствует 3 единичным отрезкам.
Ответ: да.
Пример #3. Определи координату точки C. 
Решение:
Известно, что число, соответствующее точке координатного луча, является координатой этой точки. Точке E соответствует число 1, и длина отрезка OE принята за единицу длины и называется единичным отрезком.
До точки C от точки O — начала отсчёта — 2 единичных отрезка, поэтому точка C соответствует числу 2, т. е. координата точки C(2).
Ответ: координата точки C(2).
Пример #4. Запиши число, стоящее у конца стрелки на рисунке.
Координаты точки
Решение:
Для определения числа, стоящего у конца стрелки на данном рисунке, составим числовое выражение и найдём его значение:
Значит, искомое число, соответствующее точке у конца стрелки, равно 56.
Ответ: число, стоящее у конца стрелки на рисунке, равно 56.
Пример #5. Какую температуру показывает термометр, изображённый на рисунке? Какую температуру покажет этот термометр, если столбик опустится на 3 деления?
Определение температуры по термометру
Решение:
Анализируя данный рисунок, можно сделать вывод, что 1 деление соответствует 2 °С, значит, 3 деления соответствуют 6 °С, поэтому термометр, изображённый на рисунке, показывает температуру 26 °С.
Если столбик опустится на 3 деления, то термометр покажет температуру 26−3⋅2 = 20 °С.
Ответ: термометр показывает 26 °С, если столбик опустить на 3 деления, то термометр покажет 20 °С.
Пример #6. Запиши наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча, чтобы можно было отметить числа: 20, 30, 40, 50, 80, 90.
Скольким делениям соответствует число 50?
Решение:
Для того чтобы можно было отметить на координатном луче числа:
20, 30, 40, 50, 80, 90 — требуется определить наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча.
Заметим, что у предложенных чисел наибольшим общим делителем является число 10, поэтому возьмём, что одному делению соответствует число 10.
Значит, число делений, соответствующих числу 50, равно 5.
Ответ: наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча, равно 10, а число делений, соответствующих числу 50, равно 5.
Пример #7. Определи координату точки B, изображённой на рисунке. Если координата точки O(0), а координата точки C(60).
Определение цены одного деления
Решение:
Для определения координаты точки B, изображённой на рисунке, найдём сначала, какому числу отвечает одно деление на этом координатном луче, отмеченное точкой E.
Длину отрезка OC определим как 4⋅OE, значит, точка E соответствует числу 60 : 4 = 15.
Поэтому координата точки B(180), т. к. до точки B от точки O 12 таких делений.
Ответ: координата точки B(180).
Пример #8. Определи координаты точек C и B:
Работа с координатным лучом
Решение:
Координату точки C можно узнать, отняв от координаты точки A указанное на рисунке число.
Получим: 99 − 47 = 52, т. е. координата точки C(52).
Далее, координату точки B можно узнать, прибавив к координате точки C указанное на рисунке число.
Получим: 52 + 28 = 80, т. е. координата точки B(80).
Ответ: координата точки C(52); координата точки B(80).
Пример #9. Запиши координаты точек A, B и C.
Координаты трёх точек на координатном луче
Решение:
Координату точки A можно узнать, прибавив к координате точки D указанное на рисунке число.
Получим: 80 + 50 = 130, т. е. координата точки A(130).
Далее, координату точки B можно узнать, отняв от координаты точки A указанное на рисунке число.
Получим: 130 − 37 = 93, т. е. координата точки B(93).
Координату точки C можно узнать, отняв от координаты точки B указанное на рисунке число.
Получим: 93 − 37 = 56, т. е. координата точки C(56).
Ответ: координата точки A(130); координата точки B(93); координата точки C(56).
Пример #10. Запиши точку, которой соответствует начало координатного луча на данном рисунке.
Начало координатного луча
Если известно, что координата точки H(35), координата точки L(45) и координата точки N(55).
Решение:
Анализируя рисунок, выясняем, что координата точки H(35), координата точки L(45) и координата точки N(55).
Между точками имеем по два деления.
Значит, цена одного деления: (45−35):2 = 5.
Отсчитаем от точки H влево 7 делений и получим точку, соответствующую числу 0, т. е. точку, которой соответствует начало координатного луча на данном рисунке.
Ответ: началом координатного луча на данном рисунке будет точка A.
Пример #11. Составь числовое выражение для координаты точки B и найди его значение:
Составь числовое выражение для координаты точки B
Решение:
Для определения числа, стоящего у конца стрелки на данном рисунке, т. е. для определения координаты точки B, составим числовое выражение и найдём его значение: 78 − 10 = 68.
Значит, искомое число, соответствующее точке B у конца стрелки, равно 68.
Ответ: числовое выражение для координаты точки B 78-10, его значение равно 68.
Пример #12. Изобрази координатный луч, считая, что единичный отрезок равен 2 клеткам тетради. Отметь на нём точку A (2). Скольким клеткам тетради соответствует отмеченная точка?
Решение:
Изображая координатный луч и считая, что единичный отрезок равен 2 клеткам тетради, получим, что точка A(2) соответствует
2 ⋅ 2 = 4 клеткам тетради.
Координатный луч с единичным отрезком в 2 клетки
Ответ: точка A соответствует 4 клеткам.
Пример #13. На рисунке изображена шкала. Какое число соответствует точке D? 
Шкала
Решение:
Анализируя данный рисунок, можно сделать вывод, что 1 деление соответствует числу 1, значит, точке D соответствует число 10 + 1 ⋅ 15 = 25.
Ответ: точке D на шкале соответствует число 25
Источник
