Что значит игровая модель

Что значит игровая модель

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры — выигрыш одного из партнеров.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени.

При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неиз¬вестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать. Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны, математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, — игроками, а исход конфликта — выигрышем.

Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

1. варианты действий игроков;
2. объем информации каждого игрока о поведении партнеров;
3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш — единицей, а ничью — 1/2.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В. Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а — выигрыш одного из игроков, b — выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = — а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход — это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход — это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной — в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.
Важнейшее ограничение теории игр — единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические.

Источник

Понятие об игровых моделях

Дата добавления: 2015-07-09 ; просмотров: 31211 ; Нарушение авторских прав

При решении ряда практических задач приходится анализировать ситуации, где налицо две (или более) враждующие стороны, преследующие противоположные цели, причем результат каждого мероприятия одной из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник. Такие ситуации называются «конфликтными ситуациями».

Конфликтная ситуация — ситуация, в которой две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от действий партнера.

Можно привести многочисленные примеры конфликтных ситуаций из различных областей практики. Любая ситуация, возникающая в ходе военных действий, принадлежит к конфликтным ситуациям: каждая из борющихся сторон принимает все доступные ей меры для того, чтобы воспрепятствовать противнику достигнуть успеха. К конфликтным принадлежат и ситуации, возникающие при выборе системы вооружения, способов его боевого применения и, вообще, при планировании военных операций: каждое из решений в этой области должно приниматься в расчете на наименее выгодные для нас действия противника. Ряд ситуаций в области экономики (особенно при наличии свободной конкуренции) принадлежит к конфликтным ситуациям, в роли борющихся сторон выступают торговые фирмы, промышленные предприятия и т.д.

Необходимость анализировать подобные ситуации вызвала к жизни специальный математический аппарат. Теория игр по существу представляет собой нечто иное, как математическую теорию конфликтных ситуаций. Цель теории — выработка рекомендаций по рациональному образу действий каждого из противников в ходе конфликтной ситуации.

Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна, и анализ ее затруднен наличием многочисленных привходящих факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации, необходимо отвлечься от второстепенных, привходящих факторов и построить упрощенную, формализованную модель ситуации. Такую модель мы будем называть «игрой».

Игра — математическая модель конфликтной ситуации.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шахматы, шашки, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающегося «победой» (выигрышем) того или иного игрока.

Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. Терминология, заимствованная из практики таких игр, применяется и при анализе других конфликтных ситуаций: стороны, участвующие в них, условно именуются «игроками», а результат столкновения — «выигрышем» одной из сторон.

Выигрыш (платеж) — исход конфликта.

В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников, в первом случае игра называется «парной», во втором — «множественной» Участники множественной игры могут в ее ходе образовывать коалиции — постоянные или временные. При наличии двух постоянных коалиций множественная игра обращается в парную. Наибольшее практическое значение имеют парные игры.

Будем рассматривать парную игру, в которой участвуют два игрока А и В с противоположными интересами. Под «игрой» будем понимать мероприятие, состоящее из ряда действий сторон А и В. Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, должны быть точно сформулированы правила игры. Под «правилами игры» разумеется система условий, регламентирующая возможные варианты действий обеих сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, последовательность чередования «ходов» (отдельных решений, принятых в процессе игры), а также результат или исход игры, к которому приводит данная совокупность ходов. Этот результат (выигрыш или проигрыш) не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, установив некоторую шкалу измерения, выразить его определенным числом. Например, в шахматной игре выигрышу можно условно приписать значение +1, проигрышу –1, ничьей 0.

Игра с нулевой суммой — парная игра, в которой выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает то, что проигрывает другой, т.е. сумма выигрышей обеих сторон равна нулю. В игре с нулевой суммой интересы игроков прямо противоположны.

Так как в игре с нулевой суммой выигрыш одного из игроков равен выигрышу другого с противоположным знаком, то, очевидно, при анализе такой игры можно рассматривать выигрыш только одного из игроков. Пусть это будет, например, игрок А. В дальнейшем мы для удобства сторону А будем условно именовать «мы», а сторону В — «противник».

При этом сторона А («мы») будет всегда рассматриваться как «выигрывающая», а сторона В («противник») как «проигрывающая». Это формальное условие не означает какого-либо реального преимущества для первого игрока; легко видеть, что оно заменяется противоположным, если знак выигрыша изменить на обратный.

Развитие игры во времени мы будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов или «ходов». Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры вариантов. Ходы делятся на личные и случайные.

«Личным ходом «называется сознательный выбор одним из игроков одного из возможных в данной ситуации ходов и его осуществление.

Пример личного хода — любой из ходов в шахматной игре. Выполняя очередной ход, игрок делает сознательный выбор одного из вариантов, возможных при данном расположении фигур на доске.

Набор возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон.

«Случайным ходом» называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости, тасовка и сдача карт и т.д.). Например, сдача первой карты одному из игроков в преферанс есть случайный ход с 32 равновозможными вариантами. Чтобы игра была математически определенной, правила игры должны указывать для каждого случайного хода распределение вероятностей возможных исходов. Некоторые игры могут состоять только из случайных ходов (так называемые чисто азартные игры) или только из личных ходов (шахматы, шашки). Большинство карточных игр принадлежит к играм смешанного типа, т.е. содержит как случайные, так и личные ходы.

Игры классифицируются не только по характеру ходов (личные, случайные), но и по характеру, и по объему информации, доступной каждому игроку относительно действий другого. Особый класс игр составляют так называемые «игры с полной информацией». Игрой с полной информацией называется игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов, как личных, так и случайных Примерами игр с полной информацией могут служить шахматы, шашки, а также известная игра «крестики и нолики».

Большинство игр, имеющих практическое значение, не принадлежит к классу игр с полной информацией, так как неизвестность по поводу действий противника обычно является существенным элементом конфликтных ситуаций.

Одним из основных понятий теории игр является понятие «стратегия».

Стратегия игрока — совокупность правил, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно решение (выбор) при каждом личном ходе принимается игроком в ходе самой игры в зависимости от сложившейся конкретной ситуации. Однако теоретически дело не изменится, если мы представим себе, что все эти решения принимаются игроком заранее. Для этого игрок должен был бы заблаговременно составить перечень всех возможных в ходе игры ситуаций и предусмотреть свое решение для каждой из них. В принципе (если не практически) это возможно для любой игры. Если такая система решений будет принята, это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию.

Игрок, выбравший стратегию, может теперь не участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять какое-либо незаинтересованное лицо (судья). Стратегия может быть также задана машине-автомату в виде определенной программы. Именно так в настоящее время играют в шахматы электронные машины.

Чтобы понятие «стратегии» имело смысл, необходимо наличие в игре личных ходов; в играх, состоящих из одних случайных ходов, стратегии отсутствуют.

Цель теории игр — определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

Источник

Тема 3.1. Понятие об игровых моделях

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры — выигрыш одного из партнеров.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени.

При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неиз¬вестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать. Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны, математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, — игроками, а исход конфликта — выигрышем.

Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

1. варианты действий игроков;
2. объем информации каждого игрока о поведении партнеров;
3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш — единицей, а ничью — 1/2.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В. Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а — выигрыш одного из игроков, b — выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = — а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход — это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход — это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной — в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.
Важнейшее ограничение теории игр — единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические.

Тема 3.2. Платежная матрица. Нижняя и верхняя
цена игры.

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим A₁, A₂, . A_m. Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их B₁, B₂, . B_m. Говорят, что игра имеет размерность m × n. В результате выбора игроками любой пары стратегий

A_i и B_j (i = 1, 2, . m; j = 1, 2, . n)

однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш a_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (— a_ij ) игрока В. Предположим, что значения о,у известны для любой пары стратегий (A_i ,B_j ). Матрица P = (a_ij ), i = 1, 2, . m; j = 1, 2, . n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_i и B_j , называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы — стратегиям игрока В. Составим платежную матрицу для следующей игры.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник