Что значит функция возрастает при x

Возрастание и убывание функции

Что такое возрастающие и убывающие функции

Монотонная функция — функция, изменяющаяся исключительно в одном и том же направлении.

И убывающая, и возрастающая функции относятся именно к понятию монотонной.

Возрастающая функция — линейная функция, возрастающая при увеличении значения аргумента.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Убывающая функция — линейная функция, убывающая при увеличении значения аргумента.

Также важно знать, что существует постоянная функция, значение которой не меняется на всем промежутке графика.

Свойства и признаки, пример

Достаточными условиями для возрастания или убывания функций являются следующие признаки:

1. Если производная y=f(x) >0 для любого x из интервала X , то f возрастает на X.
2. Если производная y=f(x) для любого x из интервала X , то f убывает на X .

Кроме этого, у монотонных функций есть характерные особенности, называемые свойствами. Они помогают в решении задач различной сложности: начиная от функций с логарифмами и заканчивая неравенствами с функциями. Свойства:

1. Если функции f и g возрастают/убывают на интервале ( a , b ) , то их сумма также возрастает/убывает на этом интервале.
2. Если функция f возрастает/убывает на интервале ( a , b ) , то функция -f убывает/возрастает на этом интервале.
3. Если функция f возрастает/убывает на интервале ( a , b ) , то функция \frac1f убывает/возрастает на этом интервале.
4. Если функции f и g возрастают/убывают на интервале ( a , b ) , а f ≥ 0 , g ≥ 0 , то f\times g также возрастает/убывает на этом интервале.
5. Если функция g возрастает/убывает на интервале ( a , b ) , а функция f возрастает/убывает на интервале ( c , d ) , где g:(a,b) \(\rightarrow\) (c,d) , то сложная функция y=f(g(x)) также возрастает/убывает на интервале ( a , b ) .

Рассмотрим пример-доказательство для убывающей функции:

Доказать, что f(x)=x 2 +1 возрастает при \(x\geq0\) .

Возьмем точки x₁ и x₂, чтобы \(0\leq x_1\leq x_2.\) Посмотрим на разность значений функции в данных точках.

Видим, что \(x_2-x_1>0 \) и \( x_2+x_1>0\) . Следовательно, \(f(x)=x^2+1\) — возрастающая.

Возрастающими являются также следующие функции:

Источник

Возрастание и убывание функций

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

x_1 \Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 ). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

x_1 \Rightarrow f(x_2 )

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).

На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x₁;x₅]:

Кратко это записывают так:

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \ge f(x_1 ), \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x₁,x₂ из некоторого промежутка выполняется условие

x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \le f(x_1 ), \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.

7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.

Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых функции y=g(x), определённая на отрезке [x₁;x₃], является невозрастающей и неубывающей:

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x₁;x₂].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x₂;x₃].

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

Теперь выносим общий множитель (x₂-x₁) за скобки:

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x₁, x₂ ∈(-∞;-2) x₂+x₁+4

возрастает на промежутке (2;+∞).

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Отсюда y(x₂)-y(x₁)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной (начала математического анализа — производную и её применение — проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №15. Возрастание и убывание функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение промежутков монотонности функции,

2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,

3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Глоссарий по теме

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

1. Найти D(f)
2. Найти f‘(x).
3. Определить, при каких значениях хf‘(x) ≥ 0 (на этих промежутках функция возрастает); при каких значениях х f‘(x) ≤ 0 (на этих промежутках функция убывает))

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁ f(x₂)

1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≥ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≤ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежутки монотонности функции

у = -3х 3 + 4х 2 + х – 10.

1.Найдем область определения функции.

D(y) =

2.Найдем производную функции.

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на и на .

Ответ: Функция возрастает на

Функция убывает на и на .

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х 5 –5х 4 +5х 3 – 4.

1. 
2. 

y‘ =

1. Функция возрастает на ; функция убывает на .

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на .

Источник