Что значит формула 2пr

Площадь круга: как найти, формулы

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

Источник

Почему длина окружности равна 2πR ? Вам говорили об этом в школе?

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Насколько я помню, на уроках геометрии формула длины окружности постулировалась без предварительного доказательства.

Между тем, это могло вызывать у учеников дополнительные вопросы: ведь так легко линейкой измерить радиус или диаметр, в то время как к окружности линейку не приложишь.

Да и вообще, почему не 3πR, например? Пришло время заполнить этот пробел и понять, как к этой формуле пришли в Древней Греции. Поехали!

Итак, для начала возьмем две окружности произвольных радиусов. Впишем в каждую из них правильный n-угольник (начнем с треугольника):

Из курса геометрии известна формула, с помощью которой можно вычислить периметр вписанного в окружность многоугольника:

Теперь пришло время совершить предельный переход, а именно, устремить число сторон вписанного многоугольника к бесконечности: вписать квадрат, пяти-, шестиугольник и т.д.

Очевидно, что чем больше будет сторон, тем периметр получившейся фигуры будет всё ближе и ближе к реальному значению длины окружности:

Теперь-то становится понятно, зачем нам были нужны именно две окружности: мы найдем отношения периметров вписанных в них многоугольников и посмотрим на результат:

Получившуюся пропорцию перепишем в удобной для нас форме, чтобы слева и справа в равенстве находились величины, связанный с одной и той же окружностью:

Полученный результат говорит нам вот о чём: какую бы мы окружность не взяли, отношение её длины к удвоенному радиусу, будет числом постоянным. Поэтому этот коэффициент пропорциональности необходимо как-то обозначить. Древние греки, недолго думая, записали его как π — perimeter.

Они же предприняли одни из первых успешных попыток вычисления и изучения этой фундаментальной математической константы. Задача была не из простых, ведь человечеству понадобилось больше тысячи лет, чтобы понять истинную природу числа π. Но это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!

Источник

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Источник

Что значит формула 2пr

Как известно, год, но Земле длится примерно 365 дней и соответствует периоду обращения земли вокруг Солнца. Период обращения Т — это время одного оборота. Проще всего его найти в случае равномерного кругового движения – он будет равен отношению длины окружности l=2пR к скорости, с которой движется тело:

Скорость V в этой формуле называется линейной. Она показывает путь, пройденный телом за единицу времени. Помимо линейной движение по окружности характеризуется также угловой скоростью w . Угловая скорость выражает не путь, а угол, на который поворачивается радиус-вектор частицы за единицу времени, и потому она определяется следующим образом: w=a/t . Поскольку одному обороту соответствует угол a=2п радиан и время t=T, то угловую скорость можно представить в виде:

При равномерном движений по окружности неизменным остаётся лишь модуль линейной скорости, направлений её, напротив, изменяется непрерывно. Этого достаточно, чтобы ускорение было отлично от нуля. Правда, оно будет характеризовать не быстроту изменения её числового значения скорости (оно не меняется), а быстроту изменения её направления. Чтобы выяснить, от чего зависит модуль этого ускорения, заметим: чем больше скорость движения (по одной и той же окружности), тем быстрее изменяется направление вектора скорости и, следовательно, тем больше должно быть ускорение. Если же при неизменной скорости увеличивать радиус окружности, то каждый её участок (проходит за данное время) будет все более приближаться к прямой линий, а движение – всё больше походить на равномерное прямолинейное. Но про равномерное прямолинейном движении а =0. Поэтому с ростом радиуса окружности модуль ускорения должен уменьшаться. Таким образом, можно предположить, что при равномерном круговом движении ускорение тела прямопропорционально скорости движения и обратно пропорционально радиусу окружности, т.е. ровно отношению v/R . Однако размерность этого отношения (1/с) отличаются от размерности ускорения (м/с 2 ). Чтобы добиться совпадения их размерностей, достаточно скорость в рассматриваемом отношений на её квадрат. Разделив (м/с) 2 на (м), мы действительно получим (м/с 2 ). Линейная скорость равна: V=wR Следовательно,

Строго говоря, в правую часть формулы нужно было бы добавить безразмерный коэффициент пропорциональности. Однако расчёты показывают, что он равен единице. Приведенная выше формула позволяет определить модуль ускорения. Поскольку ускорение – величина векторная, она характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Куда же оно направленно при равномерном движении по окружности? Понятно, что не в ту же сторону, что и скорость (это привело бы к её увеличению, и движение перестало бы быть равномерным), но и не в противоположную сторону. Ускорение тела в данном случае всё время направлено под прямым углом к вектору скорости, а именно к центру окружности, по которой движется тело. Данное обстоятельство помогло установить причину обращения Земли (а также других планет) вокруг Солнца. До Галилея и Ньютона эта причина (сила) связывалась со скоростью тела. Но смотреть в направлении движения Земли бесполезно. Ничего особенного мы там не увидим. Если же посмотреть в сторону ускорения нашей планеты, можно увидеть там Солнце. Поэтому именно Солнце естественно считать тем источником силы, который заставляет двигаться Землю.

Источник

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Источник