Что значит если сумма трех векторов равна нулю

геометрия — Сумма всех векторов-медиан в треугольнике равна нулю

Докажите или дайте ссылку на доказательство что сумма трех векторов-медиан в треугольнике равна нулю (каждый вектор заканчивается в вершине треугольника, а начинается на середине противоположной стороны).

задан 25 Фев ’19 21:38

abc
2.3k ● 2 ● 14
66&#037 принятых

@abc: здесь есть целый набор способов решения. Если известно, что для середины A1 стороны BC для любой точки A верно векторное равенство AA1=(AB+BC)/2, то пишем два других таких равенства, складываем, и пользуемся тем, что AB+BA=0 и т.п. Даже если это вдруг не считается известным, можно записать AA1 как AB+BA1=AB+BC/2, и с двумя другими симметричными равенствами снова будет 0. Есть ещё способ с привлечением точки пересечения медиан, можно также рассмотреть дополнительное построение с треугольником из медиан, но всё это достаточно просто и стандартно — задача для школьного урока.

Не понял у нас же векторное тождество AB+BC=AC. Как тогда может быть AA1=(AB+BC)/2? Я вот и люблю этот форум за возможность побыть в школе

Понятно, же что опечатка: AA1=AB+BC/2.
А, это в тексте есть. Тогда так: из достроения до параллелограмма следует, что AA1=(AB+AC)/2. Это, наверное, имелось ввиду

Теперь понял, действительно просто. Намного проще чем доказательство того что медианы пересекаются в одной точке. Есть ли такое-же простое векторное доказательство этого факта?

@abc, Намного проще чем доказательство того что медианы пересекаются в одной точке. — простите, а что в этом доказательстве сложного.

Доказывается, что две медианы пересекаясь делятся в отношении 2:1 (два раза ссылаясь на теорему Фалеса), откуда следует, что все три медианы пересекаются в одной точке.

Да может не намного сложнее, но конечно посложнее. Вот здесь http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=53478 дают задаче 3+ по градации сложности. Но я думал там по 5 бальной шкале, а там вроде 10 бальная. Хотя из 180 задач на эту тему только одна сложнее 5-бальной, так что можно сказать сложность нашей задачи на уровне 70% от самых сложных )

@abc: там, конечно, была описка — векторы все начинаются в точке A. Но это из контекста понятно — я ссылаюсь на общеизвестный факт.

Векторное доказательство про точку пересечения медиан, конечно, есть. Достаточно использовать формулу деления точки в данном отношении. Она широко известна. Тогда берём радиус-векторы точек A и A1, и делим отрезок AA1 в отношении 2:1 точкой G. Простое вычисление показывает, что радиус-вектор G равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин. Это значит, что для любой из медиан, мы этим способом получаем одну и ту же точку (центр масс).

@abc: со школьными способами доказательства факта о медианах всё понятно — достаточно провести две медианы и рассмотреть подобные треугольники. Отсюда получается факт про 2:1, и из него всё следует. Более интересно то, что эта теорема верна в абсолютной геометрии, то есть её можно доказать без использования Пятого Постулата, на котором основана теория подобия и многое другое. См. здесь.

Источник

Смешанное произведение трех векторов и его свойства

Смешанным произведением трех векторов а, b, с называется число, равное скалярному произведению вектора [а; b] на вектор с.

Смешанное произведение векторов a, b и с обозначается (а; b; с). Следовательно,

Теорема 1. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов а, b и с равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-множителях.

Как известно, площадь S параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна | [а; b] |. Поэтому из формулы (1) следует, что

С другой стороны, объем V параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с (рис. 58), равен произведению площади его основания S на высоту h, причем h = |AA₂|, где А₂ — проекция вершины А₁ на ось, определяемую вектором [а; b].

Так как |AA₂| = |с | • cos ψ, то

Из формулы (1) видно, что если смешанное произведение трех векторов не равно кулю, то его знак совпадает со знаком cos ψ. Поэтому смешанное произведение положительно, если вектор с направлен в ту же сторону от плоскости векторов а и b, что и вектор [а; b], т. е. если тройка векторов а, b, с правая.

Смешанное произведение отрицательно, когда вектор с и вектор [а; b] направлены в противоположные стороны от плоскости векторов а и b, т. е. когда тройка векторов а, b, с левая.

Итак, если векторы а, b, с образуют правую тройку, то (а; b;с) > 0, если левую, то (а; b;с) Теорема 2. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Необходимость. Пусть (а; b, с) = 0. Предположим, что векторы а, b и с некомпланарны. Построим на этих векторах параллелепипед.

Его объем V > 0, но по теореме 1 | (а; b;с) | = V, что противоречит предположению.

Достаточность. Пусть векторы а, b и с компланарны. Тогда вектор [а; b] перпендикулярен вектору с, но скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, т. е. [а; b] • c = (а; b;с) = 0.

Рассмотрим некоторые свойства смешанного произведения.

1. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства

т. е. при циклической перестановке множителей смешанное произведение не изменяется.

Достаточно доказать первое равенство, так как второе следует из первого.

Если векторы а, b и с компланарны, то равенство (а; b;с) = (b; с, а) очевидно; обе части равенства равны нулю.

Пусть векторы а, b и с некомпланарны. Тогда в силу теоремы 1

где V — объем параллелепипеда, построенного на данных трех векторах. Но тройки векторов а, b, с и b, с, а являются одновременно либо правыми, либо левыми, поэтому знаки чисел (a;b;c) и (b;c;a) совпадают.

2. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства

т. е. при перестановке двух соседних множителей знак смешанного произведения изменяется на противоположный.

Первое из равенств следует из свойства векторного произведения:

Второе равенство очевидно в силу свойства 1 смешанного произведения.

Задача 2. Вычислить ( i + j; j — 2i; k ), где i, j, k — взаимно перпендикулярные единичные векторы, образующие правую тройку.

Источник

Что значит если сумма трех векторов равна нулю

1. Основные определения

Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно — как с геометрическими объектами — геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).

Вектор пред­ставляет собой направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правило вычитания векторов, правило умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.

Стрелка компаса — не вектор, т. к. для неё нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение — букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.

Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую — концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является нача­лом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рис. 2).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

На рис. 4 слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа — равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

В физике точка приложения вектора иногда имеет принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке приписать эту скорость? Всем точкам движущейся системы!

2. Сложение двух векторов.

Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а).

Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рис. 5б — это вектор `vec c`.

Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать

Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника .

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах, параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно — суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали (рис. 5в).

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют правило треугольника. Поясним сказанное.

3. Сложение трёх и более векторов.

Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6).

Для этого по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим вектором `vec d`. Тогда полученный вектор `vec f = vec c + vec d` и будет представлять собой сумму трёх векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.

Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго — откладывают третий, из конца третьего — четвёртый и т. д.

Так, на рис. 7 вектор `vec g` представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`, найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.

Не всякая векторная сумма может иметь физический смысл. Не всякие величины вообще имеет смысл складывать. Так, например, бессмысленно говорить, что, если у меня температура `36,6^@` и у вас тоже `36,6^@`, то вместе у нас температура `73,2^@`, хотя складывать температуры (числа) никто не запрещает. Всё же чаще всего сумма температур представляет собой никому не нужную величину; она редко входит в какие-либо уравнения (входит почти случайно).

Иное дело – с массой. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3` и т. д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т. д. (Если на лифте написано, что максимальный груз, перевозимый лифтом, равен `500` кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что сумма масс вносимых в лифт грузов не превышает `500` кг.) Говорят, что масса – есть аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать). А вот температура – не аддитивная величина.

Сила есть аддитивная векторная величина. Если к телу в точке (или к системе тел в разных точках!) приложены силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и т. д., то сумма векторов сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + . ` есть осмысленная и даже очень нужная величина. Например, в условиях равновесия тела сумма всех приложенных к нему сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + . = 0`, даже если силы приложены в разных точках тела. Причём это относится не только к твёрдым телам. Если нитка подвешена за два конца к двум гвоздям, а в промежутке перекинута еще через какие-нибудь гвозди, то сначала нужно найти силы со стороны каждого из гвоздей и силу со стороны Земли (силу тяжести) `vec F_1`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)`, `…`; при этом говорят, что к нитке приложена сумма сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + . `; в условиях равновесия эта сумма будет равна нулю.

Не так со скоростями. Если система состоит из двух частиц, имеющих в некоторый момент времени скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)`, то это не означает, что в этот момент вся система обладает скоростью равной векторной сумме `vec(v_1) + vec(v_2)`. Никто не запрещает складывать векторы скорости разных частиц; но с точки зрения физики вектор `vec(v_1) + vec(v_2)` ничему приписать нельзя. В этом смысле скорость — не аддитивная величина. Суммой скоростей (векторной суммой) интересуются, когда одно движение накладывается на другое (например, Земля вращается вокруг Солнца, но вместе с Солнцем движется вокруг центра Галактики). А вот сумма скоростей отдельных частиц системы (например, сумма скоростей звезд в Галактике) физического интереса не представляет.

Родственная скорости величина, с которой вы еще не раз встретитесь в курсе физики, импульс материальной точки, равный произведению массы на скорость, `vec p = m vec v` снова — величина аддитивная.

В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.

4. Умножение вектора на скаляр.

Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k

Источник