Что значит эллипсоидная форма

Обратное масштабирование (см. Выше) преобразует единичную сферу обратно в эллипсоид, а векторы e ₀ , e ₁ , e ₂ отображаются на векторы f ₀ , f ₁ , f ₂ , которые требовались для параметрического представления эллипса пересечения. .

Как найти вершины и полуоси эллипса, описано в эллипсе .

Пример: на диаграммах показан эллипсоид с полуосями a = 4, b = 5, c = 3, разрезанный плоскостью x + y + z = 5 .

Штифтовая конструкция

Конструкция эллипсоида в виде булавок и струн — это передача идеи построения эллипса с использованием двух булавок и веревки (см. Диаграмму).

Построение «кегли и струны» эллипсоида вращения дается конструкцией вращающегося эллипса «кегли».

Построение точек трехосного эллипсоида сложнее. Первые идеи принадлежат шотландскому физику Дж. К. Максвеллу (1868 г.). Основные исследования и распространение на квадрики были выполнены немецким математиком О. Штауде в 1882, 1886 и 1898 годах. Описание конструкции эллипсоидов и гиперболоидов с помощью булавок и струн содержится в книге « Геометрия и воображение», написанной Д. Гильберт и С. Фоссен тоже.

Этапы строительства

1. Выберите эллипс E и гиперболу H , которые представляют собой пару фокальных коник : E ( φ ) знак равно ( а потому что ⁡ φ , б грех ⁡ φ , 0 ) ЧАС ( ψ ) знак равно ( c шиш ⁡ ψ , 0 , б грех ⁡ ψ ) , c 2 знак равно а 2 — б 2 <\ Displaystyle <\ begin <выровнено>E (\ varphi) & = (a \ cos \ varphi, b \ sin \ varphi, 0) \\ H (\ psi) & = (c \ cosh \ psi, 0, b \ sinh \ psi), \ quad c ^ <2>= a ^ <2>-b ^ <2>\ end >>

с вершинами и фокусами эллипса

S 1 знак равно ( а , 0 , 0 ) , F 1 знак равно ( c , 0 , 0 ) , F 2 знак равно ( — c , 0 , 0 ) , S 2 знак равно ( — а , 0 , 0 ) <\ Displaystyle S_ <1>= (a, 0,0), \ quad F_ <1>= (c, 0,0), \ quad F_ <2>= (- c, 0,0), \ quad S_ <2>= (- а, 0,0)>и строку (на диаграмме красным) длины l .

Тогда: P — точка эллипсоида с уравнением Икс 2 р Икс 2 + у 2 р у 2 + z 2 р z 2 знак равно 1 р Икс знак равно 1 2 ( л — а + c ) , р у знак равно р Икс 2 — c 2 , р z знак равно р Икс 2 — а 2 . <\ displaystyle <\ begin & <\ frac >^ <2>>> + <\ frac >^ <2 >>> + <\ frac >^ <2>>> = 1 \\ & r_ = <\ frac <1><2>> (l-a + c ), \ quad r_ = <\ sqrt ^ <2>-c ^ <2>>>, \ quad r_ = <\ sqrt ^ <2>— а ^ <2>>>. \ end <выравнивается>>>

Полуоси

Уравнения для полуосей сгенерированного эллипсоида могут быть получены путем специального выбора для точки P :

Y знак равно ( 0 , р у , 0 ) , Z знак равно ( 0 , 0 , р z ) . <\ displaystyle Y = (0, r_ , 0), \ quad Z = (0,0, r_ ).>

Нижняя часть диаграммы показывает, что F ₁ и F _{2 также} являются фокусами эллипса в плоскости xy . Следовательно, она конфокальна данному эллипсу, а длина струны l = 2 r _x + ( a — c ) . Решение относительно r _x дает r _x = 1 / 2 ( л — а + в ) ; кроме того, г 2
лет = г 2
х — с 2 .

Из верхней диаграммы мы видим, что S ₁ и S ₂ являются фокусами эллиптического сечения эллипсоида в плоскости xz и что r 2
z = г 2
х — а 2 .

Converse

Если, наоборот, трехосный эллипсоид задается его уравнением, то из уравнений на шаге 3 можно вывести параметры a , b , l для конструкции из булавок и струн.

Конфокальные эллипсоиды

Если Е представляет собой эллипсоид конфокальный к Е с квадратами его полуосей

р ¯ Икс 2 знак равно р Икс 2 — λ , р ¯ у 2 знак равно р у 2 — λ , р ¯ z 2 знак равно р z 2 — λ <\ displaystyle <\ overline > _ ^ <2>= r_ ^ <2>— \ lambda, \ quad <\ overline > _ ^ <2>= r_ ^ <2>— \ lambda, \ quad <\ overline > _ ^ <2>= r_ ^ <2>— \ lambda>

то из уравнений E

р Икс 2 — р у 2 знак равно c 2 , р Икс 2 — р z 2 знак равно а 2 , р у 2 — р z 2 знак равно а 2 — c 2 знак равно б 2 <\ displaystyle r_ ^ <2>-r_ ^ <2>= c ^ <2>, \ quad r_ ^ <2>-r_ ^ <2>= a ^ < 2>, \ quad r_ ^ <2>-r_ ^ <2>= a ^ <2>-c ^ <2>= b ^ <2>>

можно обнаружить, что соответствующие координационные коники , используемые для штырей-и-струнной конструкции имеют одинаковые полуоси а , б , гр как эллипсоид Е . Поэтому (аналогично фокусам эллипса) фокальные коники трехосного эллипсоида рассматриваются как (бесконечное множество) фокусов и называются фокальными кривыми эллипсоида.

Верно и обратное утверждение: если выбрать вторую строку длины l и определить

λ знак равно р Икс 2 — р ¯ Икс 2 <\ displaystyle \ lambda = r_ ^ <2>— <\ overline > _ ^ <2>>

р ¯ у 2 знак равно р у 2 — λ , р ¯ z 2 знак равно р z 2 — λ <\ displaystyle <\ overline > _ ^ <2>= r_ ^ <2>— \ lambda, \ quad <\ overline > _ ^ <2>= r_ ^ <2>— \ lambda>

действительны, что означает, что два эллипсоида конфокальны.

Предельный случай, эллипсоид вращения

В случае a = c ( сфероид ) получаем S ₁ = F ₁ и S ₂ = F ₂ , что означает, что фокальный эллипс вырождается в отрезок прямой, а фокальная гипербола схлопывается до двух бесконечных отрезков прямой на оси x. . Эллипсоид вращательно-симметричен относительно оси x и

р Икс знак равно л 2 , р у знак равно р z знак равно р Икс 2 — c 2 <\ displaystyle r_ = <\ frac <2>>, \ quad r_ = r_ = <\ sqrt ^ <2>-c ^ <2>> >> .

Свойства фокальной гиперболы

Свойство фокального эллипса

Фокальный эллипс вместе с его внутренней частью можно рассматривать как предельную поверхность (бесконечно тонкий эллипсоид) пучка софокусных эллипсоидов, определяемого параметрами a , b при r _z → 0 . Для предельного случая получаем

р Икс знак равно а , р у знак равно б , л знак равно 3 а — c . <\ displaystyle r_ = a, \ quad r_ = b, \ quad l = 3a-c.>

В общем положении

Как квадрика

Если v — точка, а A — вещественная симметричная положительно определенная матрица , то набор точек x , удовлетворяющих уравнению

( Икс — v ) Т А ( Икс — v ) знак равно 1 <\ displaystyle (\ mathbf — \ mathbf ) ^ <\ mathsf > \! <\ boldsymbol > \, (\ mathbf — \ mathbf ) = 1 >

эллипсоид с центром в v . В собственных векторах из А являются главными осями эллипсоида, а собственные значения из A являются обратными квадратами полуосей: -2 , б -2 и с -2 .

Обратимое линейное преобразование, примененное к сфере, дает эллипсоид, который может быть приведен к указанной выше стандартной форме подходящим вращением , что является следствием полярного разложения (также см. Спектральную теорему ). Если линейное преобразование представлено симметричной матрицей 3 × 3 , то собственные векторы матрицы ортогональны (согласно спектральной теореме ) и представляют направления осей эллипсоида; длины полуосей вычисляются из собственных значений. Сингулярное разложение и полярное разложение матричные разложения тесно связаны с этими геометрическими наблюдениями.

Параметрическое представление

Ключом к параметрическому представлению эллипсоида в общем положении является альтернативное определение:

Эллипсоид — это аффинное изображение единичной сферы.

Аффинное преобразование может быть представлено в виде перевода с вектором ф ₀ и регулярным 3 × 3 матрицы A :

Икс ↦ ж 0 + А Икс знак равно ж 0 + Икс ж 1 + у ж 2 + z ж 3 <\ displaystyle \ mathbf \ mapsto \ mathbf _ <0>+ <\ boldsymbol > \ mathbf = \ mathbf _ <0>+ x \ mathbf _ <1>+ y \ mathbf _ <2>+ z \ mathbf _ <3>>

Параметрическое представление эллипсоида общего положения может быть получено с помощью параметрического представления единичной сферы (см. Выше) и аффинного преобразования:

Икс ( θ , φ ) знак равно ж 0 + ж 1 потому что ⁡ θ потому что ⁡ φ + ж 2 потому что ⁡ θ грех ⁡ φ + ж 3 грех ⁡ θ , — π 2 θ π 2 , 0 ≤ φ 2 π <\ displaystyle \ mathbf (\ theta, \ varphi) = \ mathbf _ <0>+ \ mathbf _ <1>\ cos \ theta \ cos \ varphi + \ mathbf _ <2>\ cos \ theta \ sin \ varphi + \ mathbf _ <3>\ sin \ theta, \ qquad — <\ tfrac <\ pi><2>> .

Если векторы f ₁ , f ₂ , f ₃ образуют ортогональную систему, шесть точек с векторами f ₀ ± f _1,2,3 являются вершинами эллипсоида и | f ₁ |, | f ₂ |, | f ₃ | — полуглавные оси.

Вектор нормали к поверхности в точке x ( θ , φ ) равен

п ( θ , φ ) знак равно ж 2 × ж 3 потому что ⁡ θ потому что ⁡ φ + ж 3 × ж 1 потому что ⁡ θ грех ⁡ φ + ж 1 × ж 2 грех ⁡ θ . <\ displaystyle \ mathbf (\ theta, \ varphi) = \ mathbf _ <2>\ times \ mathbf _ <3>\ cos \ theta \ cos \ varphi + \ mathbf _ <3>\ times \ mathbf _ <1>\ cos \ theta \ sin \ varphi + \ mathbf _ <1>\ times \ mathbf _ <2>\ sin \ theta.>

Для любого эллипсоида существует неявное представление F ( x , y , z ) = 0 . Если для простоты центр эллипсоида является началом координат, f ₀ = 0 , следующее уравнение описывает эллипсоид выше:

F ( Икс , у , z ) знак равно Det ⁡ ( Икс , ж 2 , ж 3 ) 2 + Det ⁡ ( ж 1 , Икс , ж 3 ) 2 + Det ⁡ ( ж 1 , ж 2 , Икс ) 2 — Det ⁡ ( ж 1 , ж 2 , ж 3 ) 2 знак равно 0 <\ Displaystyle F (x, y, z) = \ operatorname \ left (\ mathbf , \ mathbf _ <2>, \ mathbf _ <3>\ right) ^ < 2>+ \ operatorname \ left (\ mathbf _ <1>, \ mathbf , \ mathbf _ <3>\ right) ^ <2>+ \ operatorname \ left (\ mathbf _ <1>, \ mathbf _ <2>, \ mathbf \ right) ^ <2>— \ operatorname \ left (\ mathbf _ < 1>, \ mathbf _ <2>, \ mathbf _ <3>\ right) ^ <2>= 0>

Приложения

Эллипсоидальная форма находит множество практических применений:

Геодезия

• Эллипсоид Земли , математическая фигура, приближающая форму Земли .
• Справочный эллипсоид , математическая фигура, аппроксимирующая форму планетных тел в целом.

Механика

• Эллипсоид Пуансо , геометрический метод для визуализации движения без крутящего момента вращающегося твердого тела .
• Эллипсоид напряжений Ламе , альтернатива кругу Мора для графического представления напряженного состояния в точке.
• Эллипсоид управляемости , используемый для описания свободы движения робота.
• Эллипсоид Якоби , трехосный эллипсоид, образованный вращающейся жидкостью.

Кристаллография

• Индексный эллипсоид , диаграмма эллипсоида, изображающая ориентацию и относительную величину показателей преломления в кристалле .
• Тепловой эллипсоид , эллипсоиды, используемые в кристаллографии для обозначения величин и направлений тепловых колебаний атомов в кристаллических структурах .

Осветительные приборы

• Эллипсоидальный прожектор с отражателем
• Прожектор с эллипсоидальным рефлектором

Медицина

• Измерения , полученные из МРТ визуализации простаты могут быть использованы для определения объема железы с помощью аппроксимации L × Ш × Н × 0,52 (где 0,52 приблизительный π / 6 )

Динамические свойства

Масса эллипсоида равномерной плотности р является

м знак равно V ρ знак равно 4 3 π а б c ρ . <\ displaystyle m = V \ rho = <\ tfrac <4><3>> \ pi abc \ rho.>

В моменты инерции эллипсоида однородной плотности являются

я Икс Икс знак равно 1 5 м ( б 2 + c 2 ) , я у у знак равно 1 5 м ( c 2 + а 2 ) , я z z знак равно 1 5 м ( а 2 + б 2 ) , я Икс у знак равно я у z знак равно я z Икс знак равно 0. <\ displaystyle <\ begin I _ <\ mathrm > & = <\ tfrac <1><5>> m \ left (b ^ <2>+ c ^ <2>\ right), & I_ < \ mathrm > & = <\ tfrac <1><5>> m \ left (c ^ <2>+ a ^ <2>\ right), & I _ <\ mathrm > & = <\ tfrac <1><5>> m \ left (a ^ <2>+ b ^ <2>\ right), \\ [3pt] I _ <\ mathrm > & = I _ <\ mathrm > = I _ <\ mathrm > = 0. \ End >>

При a = b = c эти моменты инерции сводятся к моментам инерции для сферы однородной плотности.

Эллипсоиды и кубоиды стабильно вращаются вдоль своей большой или малой оси, но не вдоль средней оси. Это можно увидеть экспериментально, бросив ластик с некоторым вращением. Кроме того, соображения момента инерции означают, что вращение вдоль большой оси более легко нарушить, чем вращение вдоль малой оси.

Одним из практических последствий этого является то, что разносторонние астрономические тела, такие как Хаумеа, обычно вращаются вдоль своих малых осей (как и Земля, которая просто сплюснута ); кроме того, из-за приливной блокировки спутники находятся на синхронной орбите, такие как орбита Мимаса, с их большой осью, выровненной радиально по отношению к их планете.

Вращающееся тело из однородной самогравитирующей жидкости примет форму сфероида Маклорена (сплюснутый сфероид) или эллипсоида Якоби (разносторонний эллипсоид), когда оно находится в гидростатическом равновесии и при умеренных скоростях вращения. При более быстром вращении можно ожидать неэллипсоидальных грушевидных или яйцевидных форм, но они нестабильны.

Динамика жидкостей

Эллипсоид — это наиболее общая форма, для которой можно было рассчитать ползущий поток жидкости вокруг твердого тела. В расчетах учитывается сила, необходимая для перемещения в жидкости и вращения в ней. Приложения включают определение размера и формы больших молекул, скорости опускания мелких частиц и способности микроорганизмов плавать .

По вероятности и статистике

В эллиптических распределениях , обобщающие многомерное нормальное распределение и используются в области финансов , могут быть определены в терминах их функций плотности . Когда они существуют, функции плотности f имеют структуру:

ж ( Икс ) знак равно k ⋅ грамм ( ( Икс — μ ) Σ — 1 ( Икс — μ ) Т ) <\ displaystyle f (x) = k \ cdot g \ left ((\ mathbf — <\ boldsymbol <\ mu>>) <\ boldsymbol <\ Sigma>> ^ <- 1>(\ mathbf — <\ boldsymbol <\ mu>>) ^ <\ mathsf > \ right)>

где k — масштабный коэффициент, x — n- мерный случайный вектор-строка со средним вектором μ (который также является средним вектором, если последний существует), Σ — положительно определенная матрица, которая пропорциональна ковариационной матрице, если последняя существует , а g — отображение функции неотрицательных вещественных чисел в неотрицательные числа, дающее конечную площадь под кривой. Многомерное нормальное распределение — это частный случай, когда g ( z ) = exp (- z / 2 ) для квадратичной формы z .

Таким образом, функция плотности представляет собой скалярное преобразование квадратичного выражения в скалярное преобразование. Более того, уравнение для любой поверхности изоплотности утверждает, что выражение квадрики равно некоторой константе, специфичной для этого значения плотности, а поверхность изоплотности является эллипсоидом.

В высших измерениях

Hyperellipsoid или эллипсоид размерности в евклидовом пространстве размерности , является квадратичная гиперповерхность определяется полиномом второй степени , который имеет однородную часть второй степени , которая является положительно определенной квадратичной формой . п — 1 <\ displaystyle n-1> п <\ displaystyle n>

Можно также определить гиперэллипсоид как изображение сферы при обратимом аффинном преобразовании . Спектральная теорема снова может быть использована для получения стандартного уравнения вида

Икс 1 2 а 1 2 + Икс 2 2 а 2 2 + ⋯ + Икс п 2 а п 2 знак равно 1. <\ displaystyle <\ frac ^ <2>> ^ <2>>> + <\ frac ^ <2>> ^ <2>) >> + \ cdots + <\ frac ^ <2>> ^ <2>>> = 1.>

Объем n- мерного гиперэллипсоида можно получить, заменив R n произведением полуосей a ₁ a ₂ . a _n в формуле для объема гиперсферы :

V знак равно π п 2 Γ ( п 2 + 1 ) а 1 а 2 ⋯ а п <\ displaystyle V = <\ frac <\ pi ^ <\ frac <2>>> <\ Gamma \ left (<\ frac <2>> + 1 \ right)>> a_ <1>а_ <2>\ cdots а_ >

Источник