Что значит экспонента числа

Что такое Экспонента

Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).

е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).

Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.

Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.

Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.

График экспоненты выглядит следующим образом:

Для чего используется экспонента?

Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

Экспоненциальный рост

Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

Как определить число е?

Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:

• через сумму ряда;
• через формулу Муавра — Стирлинга;
• другие.

Сумма ряда

Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.

Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:

И эти вычисления дали нам следующий результат:

Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

Формула Муавра — Стирлинга

Также называется просто формула Стирлинга:

И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.

Как запомнить число е

Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после «2,7» число «1828» появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.

Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как .

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Источник

Экспонента: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Через степенной ряд Тейлора:

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y .

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox , но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке , так как

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.

Источник

Экспонента — это. Экспонента простыми словами. Экспоненциальный рост

Экспонента в математике – это функция «y=ex», которая отражает непрерывный рост с коэффициентом. В этой функции «е»‎ ‎– это число Эйлера, которое представляет собой постоянную (

2,72). Говоря иначе, рост любой величины прямо пропорционален ее значению.

Допустим, мы слепили снежный ком и спустили его с горы. Он начинает катиться, одновременно наращивая объем. При этом чем больше он становится, тем выше скорость его движения. И наоборот: чем быстрее он катится, тем быстрее увеличивается в размерах. Получается, что масса и скорость снежного кома (y) экспоненциально возрастают со временем (x).

Экспонента в жизни. Экспоненциальный рост

Рассмотрим примеры экспоненты и экспоненциального роста в реальной жизни.

Вирусы . Если представить, что один человек может заразить гриппом еще трех, то число зараженных со временем будет расти по экспоненте. Из одного больного получается четыре, из четырех – двенадцать, и так далее. Именно это и называется экспоненциальным ростом заболеваемости.

Вклад в банке под процент. У всех процессов, идущих по экспоненте, есть одна особенность: за одно и то же количество времени их параметры меняются одинаковое количество раз.

Например, вклад в банке каждый год увеличивается на определенное количество процентов. Если положить 1000 рублей в банк под 10% годовых, то через год вклад будет составлять 1100 рублей. А в следующем году 10% будут начисляться уже исходя из суммы в 1100 рублей. То есть, вклад вырастет сильнее, и так размер прироста будет увеличиваться из года в год.

Употребление пищи . К примеру, когда человек очень голоден, он начинает быстро поглощать пищу. По мере насыщения скорость употребления пищи падает, после чего сводится к нулю.

Численность животных. Чем больше популяция животных, тем больше они размножаются. Соответственно, рост численности популяции прямо пропорционален количеству особей в ней.

Чем экспоненциальный рост отличается от линейного?

Линейный рост характеризуется стабильным прибавлением постоянной, а экспоненциальный рост – это следствие многократного умножения на постоянную. То есть если линейный рост на графике представляет собой стабильную линию, то экспоненциальный рост характеризуется быстрым взлетом.

В качестве примера можно привести обычную ходьбу. Если длина одного шага составляет 1 метр, то через 6 шагов человек преодолевает расстояние в 6 метров. Это и называется линейным ростом.

При экспоненциальном росте длина каждого шага в нашем примере увеличивается в 2 раза. То есть сначала человек шагает на 1 метр, потом на 2 метра, потом на 4 метра и так далее. В таком случае за 6 шагов можно пройти 32 метра, что гораздо больше, чем в предыдущем примере.

Источник

Что такое Экспонента

В этой статье нет ни слова о коронавирусе!

Экспоненциальный рост — одно из частых выражений в интернете, что же такое экспонента, давайте разложим «по полкам» и на примерах.

В математике экспонента «в чистом виде» — это показательная функция y(x) = ex, производная которой равна самой функции. Коэффициент e = 2,72 (число Эйлера). Рост такой функции происходит очень быстро, чем больше x, тем быстрее рост. К примеру, для х=0 экспонента равна 1, при х=1 функция растет до 2,72, а уже на х=5 она принимает значение 148. На графиках это выглядит как кривая, стремительно поднимающаяся вверх.

Представьте себе снежный ком который катится с горы, он постоянно увеличивается. Чем больше он становится, тем быстрее катится, чем быстрее катится, тем быстрее растет, получается расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента и его скорость выражается той же самой экспонентой.

У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет. Экспоненциальные функции окружают нас повсюду. Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс. А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x . Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост — и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается. А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.

(При подготовке статьи были использованы материалы кандидата физико-математических наук, старшего научного сотрудника физического факультета МГУ Константина Катамадзе).

Пишите в комментариях о каких новых словах или терминах вы хотели бы узнать.

Источник

Вездесущая экспонента

У гуманитариев уже стало хорошим тоном публично (скажем, с экрана телевизора!) и кокетливо заявить что-то вроде: «Я с математикой (с цифирью) не в ладах…». А ведь знаменитый английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон (ок. 1214 – 1292) уже давно и справедливо заметил: « Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества .» Поэтому я предлагаю читателю побороть жуткую неприязнь к математике и всё-таки прочитать настоящую статью (и вы, наверняка, всё… поймете!).

Разговор об экспоненте невозможно начать иначе, как с рассказа о так называемом «числе » е» », о котором нам всем в своё время объясняли ещё в школе на уроках математики. Число е – это основание натуральных логарифмов и важнейшая математическая константа (обозначается строчной латинской буквой «e»), которая в высшей математике встречается буквально на каждом шагу, она играет особенно важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении. Иногда число e называют числом Эйлера . Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) – это самый плодовитый в мире (на научные открытия) гениальный математик. Именно Эйлер первым ввел сим­вол е (без чувства ложной скромности, ведь с этой буквы начинается его фамилия – Euler ) и сделал так много открытий, связанных с числом е , что, в конце концов, е стали называть числом Эйлера (не путать с постоянной Эйлера : С = 0,577…). Численное значение указанного числа следующее:

e = 2,7 1828 1828 459045235360287471352662497757…,

где 1828 – это… год рождения Л. Н. Толстого (великого русского писателя и гуманитарного мыслителя), что позволяет даже гуманитариям легко запомнить 9 цифр после запятой в значении числа е .

Число е – трансцендентное число (доказал Ш. Эрмит в 1873 г.), то есть оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, и не существует закона, по которому чередуются цифры после запятой в значении числа е (ещё в 1961 г. с помощью ЭВМ было получено 100265 десятичных знаков). Предполагается, что e – это нормальное число , то есть вероятность появления разных цифр в его (бесконечной!) записи одинакова.

Иногда число е малообоснованно называют неперовым числом , по имени изобретателя логарифмов Джона Непера (1550–1617), который использовал в качестве основания число 0,9999999^10000000 = 0,367… (это меньше 1/ е , но отличия начинаются в восьмой цифре после запятой!).

Число e может быть определено несколькими способами .

Число е обозначает предел , к которому стремится выражение е * = (1 + 1/ N )^ N , когда целочисленный параметр N устремляется к бесконечности: N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… [символ ^ («крышка») в данной статье означает «возведение в степень», то есть выражение в круглой скобке (1+1/ N ) возводится в степень N ]. Короче говоря, выражение е * устрем­ля­ется к числу е = 2,718281828459045… . Смотрите также в Википедии статью «Замечательные пределы» (число е называют вторым замечательным пределом в математике).

Число е – это сумма бесконечного ряда : е = 1/0! + 1/1! +1/2! +1/3! +1/4! + 1/5! + … , где в знаменателе стоят так называемые факториалы , а по сути дела – натуральные числа (1, 1*2, 1*2*3, 1*2*3*4, 1*2*3*4*5, …), возрастающие до бесконечности.

Число е – это единственное число, для которого выполняется следующее условие: площадь области под графиком y = 1/ x на интервале от х = 1 до x = e равна 1.

Число е можно представить в виде бесконечной цепной дроби (её открыл Эйлер):

Есть много интересных задач с числом е . Приведем только четыре примера.

1). Лучшими приближениями числа е являются дроби 87/32 и 878/323 (из чисел- палиндромов , их разность – также палиндром : 878 – 323 = 555).

2). Выражение y = x ^(1/ x ) имеет единственный максимум и именно при х = е . Выражение y = x ^ x имеет единственный минимум и именно при х = 1/ е (когда х устремляется к нулю, то у устремляется к единице, поэтому математики чаще всего полагают, что 0^0 = 1 и это весьма любопытно).

3). Если суммировать случайные числа (от « генератора чисел », работающего в диапазоне от 0 до 1) до тех пор, пока их сумма не станет больше 1, то среднее значение (математическое ожидание) слагаемых будет равно… числу е .

4). Любопытна карточная игра «солитер» (моё условное название), которая является также любопытным примером… несовершенства нашей интуиции . Пусть игрок записал N карт в любом порядке (составил свой перечень – как ему захотелось). Тщательно перетасовав эти N карт, ведущий выкладывает их на стол по одной (вверх картинкой), одновременно игрок называет одну (очередную) карту из своего (записанного, см. выше) перечня. Какова вероятность совпадения названной и положенной на стол карты?

Так вот, оказывается, что при любом N , большем либо равным 7 ( «магия» семёрки !), вероятность указанного совпаде­ния будет равна 1 – 1/ е = 0,632 (то есть почти 63%, и почти « золотое сечение »)! Например, из 30 партий «солитера» игрок выиграет примерно в 19 партиях, но наша интуиция верит в это с трудом, не правда ли? Объяс­нение такого результата в том, что число «беспорядочных» перестановок из N предметов равно целому числу, ближайшему к дроби N !/ e (где N ! – это так называемый факториал числа N ). Очередная перестановка N предметов считается «беспорядочной», если ни один предмет не занимает своего исходного места (до начала процедуры перестановок).

Карты (описанная выше игра «солитер») – только один из вариантов этой удивительной задачи. Причем в теории вероятностей много задач, в которых наша интуиция заставляет нас делать неверные заключения. Такие провалы интуиции свидетельствуют о том, что мозг человека далек ещё от совершенства. При этом становится очевидным, что интуиция не может служить арбитром истины в математике (впрочем, как и во всех остальных аспектах нашей жизни и деятельности). Роль арбитра ИСТИНЫ исполняет наша логика, и только в математике логика безупречна! [Сама идея познаваемости мира была, по-видимому, разрушена ещё Куртом Гёделем в 30-е годы прошлого столетия, но эта тема далеко выходит за рамки данной книги, рассчитанной на неподготовленного читателя.]

Возможно именно поэтому математическое образование во всем мире – первый кандидат на уничтожение среди прочих точных наук. Зато в фаворе – религия, «наука» экономика (кризис за кризисом!), юриспруденция и т.п. А ведь, скажем, в юриспруденции логики просто… НЕТ; вернее, она сводится, вообще говоря, к простой «формуле»: прав тот, у кого больше денег и (или) власти (это не всегда совпадает). Поэтому люди многих стран (всего их на планете около 200) живут далеко не в правовом государстве – это стало почти аксиомой, не требующей доказательств.

После небольшого лирического отступления (в части логики) мы наконец-то переходим к совершенно замечательной функции – к экспоненциальной функции (или, проще говоря, к экспоненте – это общепринятое в науке и технике название). Простейший вид этой функции следующий: y = e ^ х , то есть число е = 2,717… возводится в степень x , например, при х = 2 мы получим: у = е ^2 = 7,387… Формулу y = e ^ х часто записывают в ином обозначении: y = exp( x ) – просто так часто удобней (по аналогии с тем, как меня зачастую удобней назвать Сашей, а не Александром).

Таким образом, экспонента – это обычная показательная функция y = a ^ х , у которой в основании лежит число а , равное е . Из законов (высшей) математики вытекает уникальное свойство экспоненты: она в точности совпадает со своей так называемой производной . Понятие «производная» – одно из фундаментальных в математике и её приложениях к естествознанию и технике, именно этим и объясняется причина столь частого появления экспоненты в формулах математического анализа – раздела высшей математики, изучаемого на первых курсах любого технического ВУЗа. Вот почему, даже самый нерадивый студент-«технарь» сотни раз слышал на лекциях про вездесущую экспоненту !

Экспонента очень часто встречается в приложениях матема­ти­ки к естествознанию и технике, когда скорость изменения какой-либо величины y прямо пропорциональна её наличному значению: dy / dx = ky (где k – коэффициент пропорциональности). Решением этого дифференциального уравнения является экспонента, имеющая такой вид

где С – начальная величина экспоненты, k – интенсивность экспоненты (коэффициент).

Очевидно, экспонента есть прямое следствие того, что величина у изменяется независимым образом, случайно (мы живем в мире, где правит Его Величество Случай !), так как скорость ее изменения пропорциональна только самой величине в рассматриваемое мгновение:

Если k больше нуля ( k – постоянная роста), то экспонента с увеличением аргумента х довольно быстро (экспоненциально) возрастает и выражает так называемый закон естественного (органического) роста , например, рост колонии бактерий, увеличение денежного вклада при постоянном процентном приращении.

Если k меньше нуля ( k – постоянная распада, затухания), то экспонента с увеличением аргумента х стремится к нулю. Так протекает, например, процесс радиоактивного распада, затухающие колебания, распространение волн, и т. п.

Обратной к экспоненциальной функции является так называемая логарифмическая функция , простейший вид которой х = ln y . Иначе говоря, число е служит основанием натуральных логарифмов (об этом нам говорит математический символ ln). «Обратной» указанная функция называется потому, что мы с помощью неё ищем значение параметра ( х ) по известному значению функции ( у ), то есть здесь мы решаем обратную задачу (в прямой постановке задачи ищут значение функции у по указанному параметру х ).

Поскольку геометрическую прогрессию Yn = Y1 × a ^( n –1) (где Y1 – первый член прогрессии, а – знаменатель прогрессии, n = 1, 2, 3, … – порядковый номер каждого члена прогрессии) можно рассматривать как показательную функцию , где аргумент х принимает только дискретные значения ( х = n – 1), то, очевидно, всякой геометрической прогрессии соответствует экспонента:

Верно и обратное утверждение. Если у экспоненты y = C ×exp( k × х ) аргумент х принимает ряд последовательных целочисленных значений, то величина y изменяется в геометрической прогрессии, у которой: первый член Y1 = С ×exp( k ), а знаменатель a = exp( k ).

Короче говоря, любые (любого вида!): экспоненты, логарифмические функции, геометрические прогрессии – всё это «лакмусовые бумажки» экспоненциальности в окружающем нас Мироздании. Возьмите и полистайте любой солидный справочник по естествознанию (особенно, разумеется, по физике) и технике – вы убедитесь, что большинство приведенных там формул содержат экспоненту (с числом е ), логарифмическую функции или геометрическую прогрессию.

Безусловно, что экспонента – главная функция во всех технических науках и их беско­нечных приложениях. Приведу лишь несколько примеров сказанному.

В технике существует такое понятие как предпочтительные числа – система пара­метрических десятичных рядов чисел, построенных по геометрической прогрессии со знаменателем 10^(1/ n ) (то есть по экспоненте!), где n = 5, 10, 20, 40, 80 – номера рядов, безграничных как в б о льшую, так и в меньшую сторону. Именно такой подход обеспечивает базу для оптимальной стандартизации в технике (что является очередным доказательством экспоненциальности нашего мира).

Провисание проводов, тросов, цепей, веревок и даже… паутиновой нити (то есть любой гибкой однородной и тяжелой нерастяжимой нити, концы которой закреплены) описывается уравнением «цепной линии» (это тоже экспонета): y = 0,5 a [ e ^( x / a ) + e ^(– x / a )].

Экспонента незримо присутствует и в нашей повседневной жизни. Например, начиная с 1961г. россияне использовали семь (и снова «магия» семёрки!) видов казначейских билетов: 1, 3, 5, 10, 25, 50, 100 рублей, а их числовые значения были близки к экспоненте вида:

y = 0,5406×exp(0,7518× x ), где х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 – порядковый номер билета.

Вездесущий закона Бенфорда Pi = log(1 + 1/ i ) содержит в своей записи так называемый десятичный логарифм (log), который всегда можно перевести в натуральный логарифм (ln), поэтому повсеместное проявление закона Бенфорда – одно из главных доказательств экспоненциальности в нашем мире!

Итак, у читателя теперь не должно оставаться сомнений, что реальный физический мир – это очень часто именно экспонен­циальный мир . Одним из главных («лежащих на поверхности» и видимых нами «невооруженным взглядом») свойств реального пространства-времени является его экспоненциальный характер. Первопричина этому по самому большому счету кроется в якобы «очевидном» факте – мы живем мире, построенном на вероятности (см. например, теорию вероятности в Википедии); мы живем в мире, где правит « Его Величество Случай ». И с этим, в принципе, сейчас соглашаются многие ученые…

В моей числофизике ( виртуальной космологии ) также сплошь и рядом «проявляется» экспонента: почти в каждой формуле – либо число е , либо логарифмическая функция. Поэтому я допускаю следующее утверждение: математическая («внутренняя») структура натуральных чисел («потока» дискретных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) в какой-то мере (отчасти и в предельно примитивной форме?) может «отражать» («моделировать») математическую структуру реальной «ткани» пространства-времени (потока его дискретных квантов?). И если это, действительно, так (пусть только в принципе, для этого есть основания!), то тогда мы сталкиваемся с парадоксом, поскольку в мире чисел… нет места ни малейшей случайности, там негде спрятаться « Его Величеству Случаю »! Вся «внутренняя» структура натуральных чисел (т.е. количество и состав их целых делителей) – это буквально «железобетонная» конструкция, детерминированная (строго определенная) раз и навсегда, что наглядно видно в «Пирамиде» делителей (главном «наглядном пособии» мира чисел): у случайно (наугад) взятого натурального числа – вероятность (V) появления целого числа N в качестве делителя – обратно пропорциональна самому числу N (то есть V = 1/ N ). И всякая «случайность» в мире натуральных чисел – это не более, чем иллюзия нашего (весьма ещё несовершенного) разума!

Короче говоря, вполне может оказаться, что и реальный (физический) мир – это строго детерминированный мир, «судьба» которого была изначально «расписана» сам о й фундаментальной структурой («тканью») пространства-времени . Просто мы ещё не знаем, как прочитать указанный «текст», то есть физики-теоретики ещё не нашли ни вида уравнений, ни их решения (такова ситуация, скажем, в общеизвестной теории квантовых струн ).

Все научно-популярные труды автора (почти 50 книжек и 100 статей) о мире натуральных чисел можно увидеть у автора «ВКонтакте» в его сообществах: «ЧИСЛОФИЗИКА» и «Закон распределения богатства (ЗРБ)».

Источник