Что значит доказательство от обратного

Что такое метод доказательства «от противного»

Содержание статьи

• Что такое метод доказательства «от противного»
• Как доказывать теоремы
• Как научиться понимать математику

Доказательство с помощью истины

Доказательство «от противного» (по-латински «reductio ad absurdum») характеризуется тем, что сам процесс доказательства какого-либо мнения осуществляется путем опровержения противоположного суждения. Ложность антитезиса можно доказать, установив тот факт, что он несовместим с истинным суждением.

Обычно такой метод наглядно демонстрируется с помощью формулы, где А – антитезис, а В – истина. Если при решении получается, что наличие переменной А приводит к результатам отличным от В, то доказывается ложность А.

Доказательство «от противного» без использования истины

Существует и более легкая формула доказательства ложности «противного» — антитезиса. Такая формула-правило гласит: «Если при решении с переменной А в формуле возникло противоречие, А – ложно». При этом не имеет значения, является ли антитезис отрицательным или утвердительным суждением. К тому же более простой способ доказательства от противного содержит в себе только два факта: тезис и антитезис, истина В не используется. В математике это значительно упрощает процесс доказательства.

Апагогия

В процессе доказательства от противного (которое еще называется «приведением к нелепости») часто используется апагогия. Это логический прием, цель которого доказать неверность какого-либо суждения так, чтобы непосредственно в нем или в вытекающих из него следствиях было выявлено противоречие. Противоречие может выражаться в тождестве заведомо различных предметов или в качестве выводов: конъюнкция или эквивалентность пары В и не В (истина и не истина).

Прием доказательства «от противного» часто используется в математике. Во многих случаях доказать неверность суждения другим способом не представляется возможным. Кроме апагогии существует и парадоксальная форма доказательства от противного. Такая форма применялась еще в «Началах» Евклида и представляет собой следующее правило: А считается доказанным, если получается продемонстрировать и «истинность ложности» А.

Таким образом, процесс доказательства от противного (оно же зовется косвенным и апогогическим доказательством) выглядит следующим образом. Выдвигается мнение, противоположное тезису, из этого антитезиса выводятся следствия, среди которых ищется ложное. Находят доказательства того, что среди следствий действительно имеется ложное. Из этого делается вывод, что антитезис неверен, а раз неверен антитезис, следует логичный вывод, что истина содержится именно в тезисе.

Источник

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

Философский энциклопедический словарь . 2010 .

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960—1970 .

Полезное

Смотреть что такое «ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО» в других словарях:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — (proof by contradiction) Доказательство, при котором признание исходной предпосылки неверной ведет к противоречию. То есть предположение об ошибочности исходной посылки позволяет одновременно и доказать какое либо утверждение, и опровергнуть его; … Экономический словарь

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — один из видов косвенного доказательства … Большой Энциклопедический словарь

Доказательство от противного — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

доказательство от противного — один из видов косвенного доказательства. * * * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО, один из видов косвенного доказательства (см. КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) … Энциклопедический словарь

Доказательство от противного — (лат. reduction ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Исследовательская деятельность. Словарь

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — (лат. reductio ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Профессиональное образование. Словарь

доказательство от противного — см.: Косвенное доказательство … Словарь терминов логики

Доказательство от противного — (лат. reductio ad absurdum) вид Доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается… … Большая советская энциклопедия

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — один из видов косвенного доказательства … Естествознание. Энциклопедический словарь

Доказательство от противного — см. Абсурд1 … Философский словарь Спонвиля

Источник

Доказательство «от противного»

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО «ОТ ПРОТИВНОГО»

О том, как прописывают и приписывают «мертвых душ»

В конце февраля общественность взорвала новость о проверках, проведенных в нескольких районах столицы. В дверь звонили люди, представлялись сотрудниками ДЕЗа и просили предъявить документы, подтверждающие регистрацию граждан по месту пребывания. Поиски «мертвых душ», нелегально проживающих в квартирах, были призваны восстановить права законопослушных граждан, установивших индивидуальные счетчики воды и переплачивающих за общедомовые нужды. Однако благие действия по защите интересов одних имели побочные эффекты.

А ты кто такой?
«Около девяти часов вечера позвонили в дверь. Я очень удивился, что не в домофон, не по телефону, а сразу в дверь. Подхожу, смотрю в глазок – стоят две женщины с тетрадками. На вопрос, кто вы такие, сказали – нужно поговорить. Я открыл. Они представились сотрудницами ДЕЗа. Сразу стало понятно, что к чему. Ссылаясь на какие-то статьи какого-то кодекса, они спросили, являюсь ли я владельцем квартиры, могу ли показать паспорт и позволить им войти в дом. На вопрос, зачем, ответили сухо: “Так надо”. Я ответил, что не собираюсь не только показывать им паспорт, но и разговаривать вообще. Стал закрывать дверь – поднялась буря возмущений, стали грозить полицией с собакой, а под конец сыпать религиозными изречениями про адский огонь и все прочее».

Подобные истории жителей столицы в конце февраля приводили многие средства массовой информации: проверки регистрации в московских квартирах вызвали шквал негодования.

История с рейдами действительно получилась темной. Тут и столичный департамент ЖКХ, выпустивший рекомендации по выявлению граждан, которые без регистрации проживают в квартирах, не оборудованных приборами учета воды. И заявления московских чиновников о том, что подобные проверки – личная инициатива самих жильцов и управляющих компаний. И совпавшее по времени принятие Госдумой (правда, лишь в первом чтении) закона, ужесточающего наказание за нарушение правил регистрации.

Справедливости ради стоит отметить, что идея проверок вполне резонна. По мнению коммунальщиков, рост платежей за общедомовые нужды во многом происходит из-за нелегалов. В квартирах, где до сих пор не установлены индивидуальные приборы учета воды, расчет ведется исходя из количества прописанных. Нетрудно догадаться, что при фактическом проживании в квартире большего числа людей расход ресурса возрастает в разы, и все, что вылито сверх нормы, приходится списывать на эти самые общедомовые нужды, которые распределяются между всеми собственниками жилья в многоквартирном доме. Возмущение горожан, установивших счетчики, вполне понятно: никто не хочет платить «за себя и за того парня».

Проверки должны были стать действенным методом борьбы с нерадивыми жильцами и способом восстановить справедливость по отношению к законопослушным гражданам. В столичном департаменте ЖКХ говорили, что инициировать рейд можно только на общем собрании собственников жилья, а в состав комиссии должны входить два сотрудника управляющей компании, два понятых и участковый, который в случае выявления нарушений должен составить протокол.

Однако многие связали рейды с упомянутым законом о «резиновых квартирах». Его противники считают, что проверки счетчиков – лишь предлог для выявления незарегистрированных и повод для привлечения их к ответственности, когда закон будет принят.

Сомнение вызывает сам факт инициализации подобных действий: на каком основании совет дома принимает решение о проведении проверки и каким образом доказать, что тетя Таня, в халате и тапочках открывшая дверь представителям комиссии, живет в квартире постоянно, а не приехала к любимому племяннику погостить на выходных? С чего вообще тете Тане показывать двум гражданкам с тетрадками в руках документ, подтверждающий личность и место прописки, и вправе ли комиссия передавать полученные сведения в миграционную и налоговую службы?

Семь кругов коммунального ада
В мае прошлого года приобрела однокомнатную квартиру в городе – спутнике столицы. Прописалась на новом месте одна и исправно оплачивала счета за «коммуналку», пока в ноябре не получила очередную квитанцию со счетом, превышающим привычный (3000 рублей) в два раза. Увеличение суммы объяснялось графой «Количество проживающих», где черным по белому было написано – «два человека». По информации, следовавшей из платежки, вместе со вторым жильцом мы израсходовали почти 50 кубометров холодной и 11 горячей воды, безвозвратно слив в канализацию в общей сложности 60 кубов живительной влаги. Такие объемы, к слову, можно использовать, если превратить мою квартиру в бассейн метровой глубины и ежедневно менять в нем воду. За объяснениями пришлось обратиться в управляющую компанию.

«Два человека? – переспросила девушка за стойкой. – А вы квартиру не сдаете? Нет? Значит, была проверка с участковым, которая выявила, что вы в квартире живете не одна».

О какой проверке идет речь, если ко мне никто не приходил, документов не требовал и количества проживающих не проверял? Да это и не представлялось возможным, потому что я делала ремонт и в квартире не проживала, о чем ежемесячно информировала УК, подавая справки из ТСЖ по месту фактического проживания.

«Значит, акт составлен на основании свидетельств соседей», – пояснила сотрудница УК.

Восстанавливать справедливость пришлось посредством многочасовых стояний в очередях за выпиской из домовой книги и прочими документами, подтверждающими факт единоличного проживания в квартире. Зато представилась уникальная возможность познакомиться с друзьями по несчастью, которые, как и я, стали обладателями платежек, свидетельствующих о прибавлении в семействе. Вместе со мной пороги инстанций обивали пожилые люди, для которых не то что бороться с бюрократической машиной, а даже дойти до офиса УК – большая проблема.

Спустя два дня я получила выписку из домовой книги, написала заявление о перерасчете и письмо на имя директора УК с просьбой разъяснить сложившуюся ситуацию, а еще поинтересовалась у соседей, не приходили ли сотрудники компании в сопровождении участкового и не проводили ли проверку регистрации.

«Никто не приходил, да и как говорить о вас, если мы практически не встречаемся?»

Между прочим, акт, составленный по итогам якобы проведенного рейда, мне тоже никто не предъявил.

Через месяц пришел новый счет за коммунальные услуги. Сумма изменилась, а вот графа «Количество проживающих» осталась прежней, потом прислали официальный ответ директора управляющей компании на мое обращение, в котором было написано, что повторная проверка подтвердила факт моего единоличного проживания в квартире и перерасчет будет осуществлен.

Однако через пару недель фарс превратился в драму. В злополучной графе очередного счета снова фигурировали два человека, а сумма к оплате закономерно перевалила за 6000 рублей. Сбор справок, стояние в очередях и подача заявлений – все бы пришлось повторить сначала и, видимо, не один раз, если бы не случай.

Во время очередного разговора с директором расчетного центра, производящего начисление платежей за коммунальные услуги, выяснилось, что управляющая компания не подала измененные сведения о количестве проживающих в моей квартире. Оказалось, что проблему, которая стоила мне трех месяцев нервов, можно решить за десять минут. Этого времени хватило, чтобы исправить данные в программе и выписать новый счет.

После всего пережитого в душе остался неприятный осадок, а в голову закралась мысль: каких высот может достичь счет за коммунальные услуги, если представители проверяющей комиссии посчитают нелегально проживающим мастера по ремонту телефона или подругу, зашедшую на чашечку кофе?

Источник

Доказательство от противного. Где взять противное?

Противное не в том смысле, что мерзкое, а в том, что противоположное.

Это один из специальных методов доказательства в математике. Когда нам не удаётся доказать прямое утверждение, мы берем его отрицание и смотрим, что получится. Так, раз уж разговор зашел про отрицание утверждений, логично было бы сначала рассказать про операции над высказываниями. Да и о самих высказываниях тоже. Хотя здесь есть немного об этом . А отрицание будем понимать интуитивно.

Например, рассмотрим утверждение:

Выглядит логично. И, как говорят многие дети, что тут доказывать и так всё понятно. Но на слово никому верить нельзя, поэтому будем доказывать. И тут возникает вопрос, как доказать, что прямые пересекаются? Поставим вопрос по-другому, чтобы было понятнее. Из чего следует, что две прямые пересекаются? Может быть стало еще не понятнее, поэтому я сама отвечу. Например, если существует точка, которая принадлежит двум этим прямым, это будет означать, что они пересекаются. Ага, скажите вы, вот оно! Но тут возникает другая проблема, как доказать, что такая точка есть? Пффф, это ведь элементарно, предоставить ее. Но, если мы не знаем, что прямые пересекаются, откуда мы возьмем точку?

Я надеюсь, вы уже окончательно запутались и чувствуете себя не очень хорошо. Это значит, что пришло время «противного». Какое утверждение будет противоположно данному? Посмотрим, в нашей теореме говорится, что прямые пересекаются, значит противоположное состояние этих прямых не пересекаться или, как говорят геометры, быть параллельными.

Предположим, что это так. Что мы получили.

Прямые а и с точно пересекаются, это сказано в условии, то есть у них есть общая точка, другими словами они проходят через одну точку. И при этом обе эти прямые параллельны третьей прямой b . Хм, заметили? Да, это и не обязательно. Через точку вне прямой, проходит две прямые параллельные третьей. А если мы находимся в евклидовой геометрии, а мы именно там, то такое невозможно. Хотя Лобачевский бы не возражал.

Наше предположение привело нас к выводу противоречащему правдивым утверждением, а это значит, что оно не верно и эти прямые ( с и b ) действительно пересекаются. Повторюсь, в геометрии Евклида.

В случае данной теоремы сразу понятно, какой метод нужно использовать для доказательства. Но так бывает не всегда. Как понять? Интуиция. А если она молчит, то есть только один совет: не знаешь, что делать, делай, что можешь!

Источник