Что значит что функции эквивалентны

Эквивалентные функции

Что такое эквивалентные функции

Эквивалентность — равнозначность в каком-либо отношении.

Эквивалентные функции позволяют облегчить процесс вычисления пределов с помощью замены множителей в примерах с дробями и произведениями.

Функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x→α, если \( \lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=1.\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данное определение применимо к бесконечно большим и малым функциям.

Эквивалентность обозначается знаком ∼, т.е. чтобы показать, что функции α(x) и β(x) эквивалентны, нужно оформить запись следующим образом: α(x)∼β(x)

Для удобства следует использовать специальную таблицу.

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Свойства функций

Основные свойства бесконечно малых функций:

Основные свойства эквивалентных бесконечно больших функций:

Применяемые определения

1. Функции \(\alpha(x) и \beta(x)\) бесконечно малы при \(x\rightarrow\alpha.\)
2. Если есть \(\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=C\neq0,\;\infty, то \alpha(x) и \beta(x)\) бесконечно малые одного и того же порядка при \(x\rightarrow\alpha \)
3. Если есть \(\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=0\) , то \(\alpha(x)\) — величина более высокого порядка малости, чем \(\beta(x)\) при \(x\rightarrow\alpha.\)
4. Если \(\not\ni\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>\) , то бесконечно малые \(\alpha(x) и \beta(x)\) несравнимы при \(x\rightarrow\alpha.\)
5. Суммой двух бесконечно больших функций при \(x\rightarrow\alpha\) является неопределенность.
6. Произведением бесконечно большой функции и функции, имеющей в точке α конечный ненулевой предел, является бесконечно большая функция при \(x\rightarrow\alpha.\)

Данных определений будет достаточно для решения пределов с применением понятия эквивалентности.

Применяемые теоремы

Теорема 1 (о замене эквивалентными в произведении и отношении):

Если \(\alpha_1(x),\;\alpha_2(x),\;\beta_1(x),\;\beta_2(x)\) являются бесконечно малыми при \(x\rightarrow\alpha и \alpha_1(x)\sim\beta_1(x),\;\alpha_2(x)\sim\beta_2(x)\) при \(x\rightarrow\alpha\) , то

Теорема 2:

Для того чтобы бесконечно малые функции α(x) и β(x) были эквивалентными при \(x\rightarrow\alpha\) , нужно, чтобы при \(x\rightarrow\alpha\) выполнялось любое из равенств:

Теорема 3:

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 4:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теорема 5 (о замене эквивалентных функций в пределах частного):

Сравнение функций

Сравнение бесконечно малых функций

1. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть конечное ненулевое число, то \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
2. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть ноль, то \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) является бесконечно малой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha\) , а \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x) \) — бесконечно малой меньшего порядка.
3. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть бесконечность, то \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x)\) является бесконечно малой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha\) , а \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) — бесконечно малой меньшего порядка.

Сравнение бесконечно больших функций

1. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) больше нуля и меньше бесконечности, то \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются бесконечно большими одного и того же порядка.
2. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть бесконечность, то \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) является бесконечно большой более высокого порядка, при \(x\rightarrow\alpha\) . При этом \(\beta(x)\) имеет меньший порядок роста.
3. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть ноль, то \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x)\) является бесконечно большой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha.\)
4. Если \(\alpha(x) и \beta^n(x)\) являются бесконечно большими функциями одного и того же порядка, то функция \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta^n(x)\) называется бесконечно большой n-ного порядка.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

Произведем замену переменной

\((x-\mathrm\pi)=y, где y\rightarrow0, если x\rightarrow\mathrm\pi\)

Применим формулу приведения:

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

Источник

Эквивалентные функции

Эквивалентные функции

Эквивалентные функции. Если функция A ( ) заменяется функцией c ( ), то разность/(x) c (x) называется абсолютной погрешностью, а отношение А (х)_ с（-） A (X)—произошла относительная ошибка Замена. Если вы хотите выяснить поведение функции f (x) в x> X0, рекомендуется заменить ее функцией c ( ), которая выглядит следующим образом: 1) функция c (-) в одном смысле проще, чем функция A (x). 2) абсолютная погрешность x ^ xo стремится к нулю. РМ [/(х) с(х)]=. х-хо В этом случае говорят, что c(-)приближает или приближает функцию/(x) вблизи точки x0.Это свойство принадлежит всем функциям A и c, например, бесконечно малым для x> x. Ниже показано, что среди них есть только эквиваленты друг друга. c (x) A (x), x ^ x0, а не только абсолютная ошибка A (x) c (x)、 А(х) с(х).

Может использоваться для расчета пределов, не зная заранее, существуют ли рассматриваемые пределы или нет. Людмила Фирмаль

• Однако относительный AT -) стремится к нулю при x ^ xo. = Приблизительно. 1_t а (-) с (-) х-хо А(х） В этом смысле функции, эквивалентные данной функции, имеют лучшие приближения, чем другие функции. Например, функции x, 21 x, 2x и 1oh бесконечны поскольку x> 0 мало и 8m x, абсолютная ошибка для замены 81n x на каждый, вероятно, будет равна нулю для x> 0. Он (81P х-х)= ее(Ш х-х) x-o x-o 2 = Он(81P х-2х)= К (Ш x-JX у)= О х-о Х-О Но только 1 из всех этих функций, то есть C(x)= x, имеет относительную ошибку Двести шестьдесят четыре для x ^ xo, это может быть написано с помощью символа «o small». Ф(Х) с (Х)= О(Ф(Х)), х x0.Таким образом, по теореме 1,§(x)= c /(x)+ o(c /(x)), откуда (см. Конец§ 8.2)§(x)= c /(x)+ o (/(x)), x ^ x. я не уверен.

Теорема 2.Предположим, что функция/,/,§,§задана в множестве X и равна f (x)〜f(x),§(x)〜§(x) для x (x).Если он существует /(икс） (8.36） х-х§ 1(х） Икс） И Um§ ( -) существует, а далее x-x (8.37)） Оно. Доказательство. Условия A-A и§ -§, x ^ x, x€означают, что существует такая функция φ и y, определенная в окрестности V = V (xo) точки x и пересечения Xn V. А (х)=φ (х) А (х),§(х)= Г (Х)§(Х), Х∈Х V、 ИТМ F(х)= ИТМ г (х)= 1. Так… §(х) А(х)） Да, относительная ошибка. А(Х) §(Х) Γ Или、 Икс）\ Понятие эквивалентности функций по отношению к взвешиванию ние А(Х) §(Х)§(Х） X стремится к нулю. Лошадиная сила = с.^ Тогда§ c / и§(x)= Результаты. Летить х-х = с /(Х)+ О (Ф (Х)) Х> Х Х-Х-Х Икс..) F (х) А1(х） 11т = 11т ——11т Ф(Х） 11м Г(Х) Х-Х§ 1(х） .. А1(х) А1(х） 11т = деньги х-х§ 1(х) ’ э-х§(х) х-х г (х)§ 1(х） 266. То есть имеет место равенство (8.37).

Поскольку равенство с обеих сторон (8.37) равно, из теоремы доказывается, что ограничение существует на левой стороне только в том случае, если есть ограничение на правой стороне, а если есть, то оно совпадает. Людмила Фирмаль

• Единственное, что можно добавить к этому, это то, что существование предела y (x)= 1 подразумевает х ® х Окрестность V = Ux) может быть выбрана из всех точек χ€X V так, что выполняется неравенство Y (x) Φ, и из существования ограничений на множество X (х) c(х)） Хм… Вы сможете выбрать окрестности V Х ® х Свойство C (x) Φ, частное /(х) c(х） Вам нужно определить Кроме того, неравенства для всех x∈X V V Но на пересечении X V окрестности V множества X и точки x0.Поэтому все вышеперечисленные выражения имеют смысл. Я не уверен. Это делает его очень удобным для применения теоремы 2 в practice.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Применение эквивалентных функций при решении пределов

Метод решения

Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).

Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.

Применяемые определения и теоремы

Определение эквивалентных функций
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Если при , то ;
если , то .
При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство

Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные:
,
где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.

Таблица эквивалентных функций

Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .

Эквивалентность при

Равенство при

Предостережение

Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.

В качестве примера рассмотрим следующий предел:
.
При . Но если заменить в числителе на x , то получим ошибку:
.
Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, :
.
Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0 . Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 2

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 3

Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями.
.
Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0 .

Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;

.

Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 4

При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда
. Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞ .

Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид:
.

В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.

В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции:
.
Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя.
.
Если положить , то . Тогда
.
Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.

Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили \ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-05-2019

Источник