Что значит что энергия квантуется

Вопрос 33: Квантование энергии.

Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не непрерывно, а скачкообразно. О величинах, которые могут принимать только вполне определенные, то есть дискретные значения (латинское «дискретус» означает разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются. В 1900 г. немецкий физик М. Планк, изучавший тепловое излучение твердых тел, пришел к выводу, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций — квантов — энергии. Значение одного кванта энергии равно: ΔE = hν,

где ΔE — энергия кванта, Дж; ν — частота, с -1 ; h — постоянная Планка (одна из фундаментальных постоянных природы), равная 6,626·10 −34 Дж·с. Кванты энергии впоследствии назвали фотонами. Идея о квантовании энергии позволила объяснить происхождение линейчатых атомных спектров, состоящих из набора линий, объединенных в серии. Еще в 1885 г. швейцарский физик и математик И.Я. Бальмер установил, что длины волн, соответствующие определенным линиям в спектре атомов водорода, можно выразить как ряд целых чисел. Предложенное им уравнение, позднее модифицированное шведским физиком Ю.Р. Ридбергом, имеет вид:

где λ — длина волны, см; R — постоянная Ридберга для атома водорода, равная 1,097373·10 5 см −1 , n₁ и n₂ — целые числа, причем n₁

Дата добавления: 2015-02-25 ; просмотров: 4581 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Что значит что энергия квантуется

Уравнение Шрёдингера позволяет найти пси-функцию данного состояния и, следовательно, определить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Однако этим далеко не исчерпывается значение указанного уравнения. Из уравнения (21.9) и условий, налагаемых на пси-функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии.

В соответствии со своим смыслом пси-функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек). Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность перечисленных требований носит название стандартных условий.

В уравнение Шрёдингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (21.9) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях параметра (т. е. энергии Е), а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями соответствующей величины (в нашем случае — энергии). Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями задачи.

Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным. Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называют непрерывным или сплошным. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких задач, у которых спектр собственных значений является дискретным.

В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

Таким образом, квантование энергии получается из основных положений квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений.

Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Мы рассмотрим пример, достаточно простой для того, чтобы можно было решить уравнение Шрёдингера без большого труда.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (рис. 23.1,а): она равна нулю при и обращается в бесконечность при .

Возьмем уравнение Шрёдингера в виде (21.5). Поскольку пси-функция зависит только от координаты х, уравнение упрощается следующим образом:

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне/ямы равна нулю. Соответственно и функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е. что

Это и есть то условие, которому должны удовлетворять решения уравнения (23.2).

В области, где не равна тождественно нулю, уравнение (23.2) имеет вид

(в этой области ). Введя обозначение

придем к уравнению, хорошо известному из теории колебаний:

Решение этого уравнения имеет вид

Условиям (23.3) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k и а. Прежде всего из условия получаем

откуда следует, что а должна быть равна нулю. Далее, должно выполняться условие:

что возможно лишь в случае, если

( отпадает, поскольку при этом получается — частица нигде не находится).

Исключив k из уравнений (23.5) и (23.7), найдем собственные значения энергии частицы:

Спектр энергии оказался дискретным. На рис. 23.1, б изображена схема энергетических уровней.

Оценим расстояния между соседними уровнями для различных значений массы частицы и ширины ямы Разность энергий двух соседних уровней равна

Если взять порядка массы молекулы порядка см (молекулы газа в сосуде), получается:

Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии, так что хотя квантование энергии в принципе будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет.

Аналогичный результат получается, если взять порядка массы электрона ) при тех же размерах ямы (свободные электроны в металле).

Однако совсем иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров см). В этом случае

так что дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.

Подставив в (23.6) значение k, получающееся из условия (23.7), найдем собственные функции задачи:

(напомним, что ). Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (22.3), которое в данном случае запишется следующим образом:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль.

Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение (равное, как известно, 1/2) на длину промежутка l. В результате получится:

откуда

Таким образом, собственные функции имеют вид

Графики собственных функций изображены на рис. 23.2, а. На рис. 23.2, б дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная Из графиков, например, следует, что в состоянии с частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.

Источник

Квантование энергии электрона в атоме

Квантование энергии электрона в атоме

Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не непрерывно, а скачкообразно. О величинах, которые могут принимать только вполне определенные, то есть дискретные значения (латинское «дискретус» означает разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются.

В 1900 г. немецкий физик М. Планк, изучавший тепловое излучение твердых тел, пришел к выводу, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций — квантов — энергии. Значение одного кванта энергии равно

где ΔE — энергия кванта, Дж; ν — частота, с-1; h — постоянная Планка (одна из фундаментальных постоянных природы), равная 6,626·10−34 Дж·с.
Кванты энергии впоследствии назвали фотонами.

Идея о квантовании энергии позволила объяснить происхождение линейчатых атомных спектров, состоящих из набора линий, объединенных в серии.

Еще в 1885 г. швейцарский физик и математик установил, что длины волн, соответствующие определенным линиям в спектре атомов водорода, можно выразить как ряд целых чисел. Предложенное им уравнение, позднее модифицированное шведским физиком , имеет вид:

где λ — длина волны, см; R — постоянная Ридберга для атома водорода, равная 1,097373·105 см−1, n1 и n2 — целые числа, причем n1 00К имеется конечная вероятность того, что за счет тепловых флуктуаций (неравномерного распределения тепловой энергии между частицами) некоторые из электронов преодолеют запрещенный барьер и перейдут в зону проводимости. В собственном полупроводнике каждый переход электрона в зону проводимости сопровождается образованием дырки в валентной зоне. Понятие дырки введено, чтобы устранить отрицательную эффективную массу mn*, т. к. в середине зоны Бриллюэна mn* положительна, а вблизи потолка валентной зоны отрицательна.

Благодаря дыркам электроны валентной зоны также принимают участие в процессе электропроводности за счет эстафетных переходов под действием электрического поля на более высокие энергетические уровни. Совокупное поведение электронов валентной зоны можно представить как движение дырок, обладающих положительным зарядом и некоторой эффективной «положительной» массой.

Введение понятия «эффективная масса электрона» позволяет рассматривать е — в зоне проводимости как частицу с положительной массой, (аналогично — «дырку» в валентной зоне) и используются для математического описания поведения электронов в зоне проводимости, т. к. электроны в этом случае нельзя считать абсолютно свободными. Такие электроны обязательно будут взаимодействовать с периодическим потенциальным полем кристаллической решетки.

Введение понятия эффективной массы было вызвано необходимостью описать движение свободного электрона в периодическом поле кристалла, когда на него действует внешнее электрическое поле. Смысл введения понятия эффективной массы состоит в том, что электрон с фактической массой, движение которого невозможно описать точно (т. к. децствует принцип неопределенности Гейзенберга), при действии внешнего поля ведет себя в кристаллической решетке в соответствии со следующими случаями:

Почти вся работа, совершенная электрическим полем, расходуется на увеличение потенциальной энергии e-. Поэтому его скорость почти не изменяется, что соответствует ситуации, когда масса e— очень велика — больше массы покоя электрона.

Изменение движения e— может быть таким, что его потенциальная энергия уменьшится, а увеличение его кинетической энергии за счет потенциальной энергии будет больше работы, совершенной полем. Электрон ведет себя так, как если бы его масса была меньше массы покоя.

При движении электрона, его скорость уменьшается в результате увеличения потенциальной энергии, в которую превращается часть его кинетической энергии. При этом увеличение потенциальной энергии больше, чем работа силы электрического поля. Электрон ведет себя как частица с отрицательной массой.

Понятие эффективной массы позволяет описать движение электронов и дырок в полупроводниках только в ограниченной области энергетических состояний, а именно: для электронов вблизи нижней границы зоны проводимости и для дырок вблизи верхней границы валентной зоны.

Для электронов с энергией из области, близкой к нижней границе зоны проводимости, эффективная масса положительна и может быть как больше, так и меньше фактической массы. Электроны с энергией, близкой к верхней границе валентной зоны, имеют отрицательную эффективную массу, так как их движение в направлении поля не ускоряется, а замедляется. Дырки же в этой области энергий ускоряются электрическим полем, а поэтому имеют положительную эффективную массу.

Отношение m*/me зависит от структуры кристалла и его диэлектрической проницаемости, а в анизотропном кристалле и от направления движения.

Не следует, однако, думать, что внутри кристалла электрон обладает другой реальной массой, иным весом. Присутствие в полупроводнике e— с очень большой m* нисколько не увеличивает его веса.

Следовательно, эффективная масса не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств электрона, как в случае фактической массы. Если фактическая масса является всегда величиной скалярной, эффективная масса в анизотропных решетках зависит от направления и выражается тензором. В этом случае направления действия силы и вызванного ею ускорения не должны обязательно совпадать.

Таким образом, чтобы описать сложные законы движения электрона в кристалле с помощью соотношений, совпадающих по форме с законами классической механики, можно учесть влияние внутренних сил на электрон, изменив соответствующим образом значение его массы, т. е. вводят понятие некоторой эффективной массы. Эффективная масса mn* свободного электрона «положительна» и может во много раз отличаться от массы m0 свободного электрона. Это объясняется тем, что переход электронов в зону проводимости проходит как правило с верхних уровней валентной зоны, для которых характерна отрицательная me*, поэтому mp* — положительна.

Таким образом, mn* и mp* равны по величине и противоположны по знаку на данном валентном или свободном энергетическом уровне. У свободных частиц, т. е. частиц движущихся, mn* — «+», mp* — «+». Чем выше t0 и меньше DЭ (ширина запрещенной зоны), тем выше скорость тепловой генерации носителей заряда (электронов и дырок). Одновременно с генерацией в полупроводнике непрерывно идет и обратный процесс — рекомбинация носителей заряда, т. е. возвращение электронов в валентную зону с исчезновением пары носителей заряда.

Выпрямление токов и усиление напряжений можно осуществить с помощью полупроводниковых устройств, называемых полупроводниковыми (или кристаллически­ми) диодами и триодами. Полупроводниковые триоды называют также транзисторами.

Полупроводниковые устройства можно подразделить на две группы: устройства с точечными контактами и устройства с плоскостными контактами. Мы ограничимся рассмотрением плоскостных диодов и транзисторов. Основным элементом плоскостных устройств являет­ся так называемый р—n-переход. Он представляет собой тонкий слой на границе между двумя областями одного и того же кристалла, отличающимися типом примесной проводимости. Для изготовления такого перехода берут, например, монокристалл из очень чистого Германия с электронным механизмом проводимости (обусловленным ничтожными остатками примесей). В вырезанную из кристалла тонкую пластинку вплавляют с одной стороны кусочек индия. Во время этой операции, которая осуществля­ется в вакууме или в атмос­фере инертного газа, атомы индия диффундируют в герма­ний на некоторую глубину. В той области, в которую про­

Рис.8 никают атомы индия, проводимость Германия становится дырочной. На границе этой области возникает р— n-переход.

На рис. 8 показан ход концентрации примесей в направлении, перпендикулярном к граничному слою. В р-области основными носителями тока являются дыр­ки, образовавшиеся в результате захвата электронов атомами примеси (акцепторы при этом становятся от­рицательными ионами); кроме того, в этой области имеется небольшое число неосновных носителей — элек­тронов, возникающих вследствие перевода тепловым движением электронов из валентной зоны непосредст­венно в зону проводимости (этот процесс немного уве­личивает и число дырок). В n-области основные но­сители тока—электроны, отданные донорами в зону проводимости (доноры при этом превращаются в поло­жительные ионы); происходящий за счет теплового дви­жения переход электронов из валентной зоны в зону проводимости приводит к образованию небольшого числа, дырок — неосновных носителей для этой об­ласти. Диффундируя во встречных направлениях через по­граничный слой, дырки и электроны рекомбинируют друг другом. Поэтому р—n-переход оказывается силь­но обедненным носителями тока и приобретает большое сопротивление. Одновременно на границе между обла­стями возникает двойной электрический слой, образованный отрицатель­ными ионами акцептор­ной примеси, заряд кото­рых теперь не компенси­руется дырками, и поло­жительными ионами- донорной примеси, заряд ко­торых теперь не компен­сируется электронами <рис; 9; кружки—ионы, черные течки — электро­ны, белые точки—дыр­ки) . Электрическое поле

Рис.9

в этом слое направлено так, что противодействует дальнейшему переходу через слой основных носителей. Равновесие достигается при такой высоте потенциального барьера, при которой

Рис.10

уровни Ферми обеих областей располагаются на одина­ковой высоте (рис. 10). Изгибание энергетических зон в области перехода вызвано тем, что потенциал р-области в состоянии равновесия ниже, чем потенциал n-об­ласти; соответственно потенциальная энергия электрона в р-области больше, чем в n-области. Нижняя граница валентной зоны дает ход потенциальной энергии элек­трона Wpэ в направлении, перпендикулярном к переходу. Поскольку заряд дырок противоположен заряду электронов, их потенци­альная энергия Wрд больше там, где меньше Wpэ, и на­оборот.

Равновесие между р- и п-областями является под­вижным. Некоторому количеству основных носителей удается преодолеть потенциальный барьер, вследствие чего через переход течет небольшой ток Iосн.

Этот ток компенсируется обусловленным неосновными носителями встречным током Iнеосн. Неосновных носителей очень мало, но они легко проникают через границу областей, «скатываясь» с потенциального барьера. Ве­личина Iнeocн определяется числом рождающихся еже­секундно неосновных носителей и от высоты потенциаль­ного барьера почти не зависит. Величина Iосн, напротив, сильно зависит от высоты барьера. Равновесие устанав­ливается как раз при такой высоте потенциального барьера, при которой оба тока Iосн и Iнеосн компенсируют друг друга. Подадим .на кристалл внешнее напряжение такого направления, чтобы «+» был подключен к р-области, а «—» был подключен к n-области) (такое напряжение называется прямым). Это приведет к возрастанию по­тенциала (т. е. увеличению Wрд и уменьшению Wpэ) р-области и понижению потенциала (т. е. уменьшению Wpд и увеличению Wpэ) n-области. В ре­зультате высота потенциального барьера уменьшится и ток Iосн возрастет. Ток же Iнеосн останется практически без изменений (он, как отмечалось, от высоты барьера почти не зависит). Следовательно, результирующий ток станет отличен от нуля. Понижение потенциального барьера пропорционально приложенному напряжению (оно равно eU). При уменьшении высоты барьера ток основных носителей, а следовательно и результирующий ток, быстро нарастает. Таким образом, в направлении от p-области к n-области р — n-переход пропускает ток, сила которого быстро нарастает при увеличении прило­женного напряжения. Это направление называется пря­мым (или пропускным, или проходным).

Возникающее в кристалле при прямом напряжении электрическое поле «поджимает» основные носители к границе между областями, вследствие чего ширина переходного слоя, обедненного носите­лями, сокращается. Соответствен­но уменьшается и сопротивление пе­рехода, причем тем сильнее, чем больше напряжение. Таким образом, вольт-амперная характеристика в пропускной области не является прямой (рис. 11).

Рис.11

Теперь приложим к кристаллу напряжение такого направления

чтобы «+»’был подключен к n-области, а «—» был подключен к р-области (такое напряже­ние называется обратным). Обратное напряжение приво­дит к повышению потенциального барьера и соответствен­ному уменьшению тока основных носителей Iосн. Возникающий при этом результирующий ток (называемый обратным) довольно быстро достигает насыщения (т. е. перестает зависеть от U, рис. 11) и становится равным iнеосн. Таким образом, в направлении от n-области к р-области (которое называется обратным или запорным) р — n-переход пропускает слабый ток, целиком обусловленный неосновными носителями. Лишь при очень большом обратном напряжении сила-тока на­чинает резко возрастать, что обусловлено электрическим пробоем перехода. Каждый р—n-переход характери­зуется своим предельным значением обратного напряжения, которое он способен выдержать без разрушения. Поле, возникающее в кристалле при наложении обратного напряжения; «оттягивает» основные носители от границы между областями, что приводит к возрастаниюширины переходного слоя, обедненного носителями. Соответ­ственно увеличивается и сопротивление перехода. Следо­вательно, р—n-переход обла­дает в обратном направлении гораздо большим сопротивле­нием, чем в прямом.

Из сказанного вытекает, что р — n-переход может быть

Рис.12

использован для выпрямления переменного тока. На рис. 12 показан график тока, текущего через переход, в том случае, если приложенное напряжение изменяется по гармоническому закону. В этом случае ширина слоя, обедненного носителями, и сопротивление перехода пульсируют, изменяясь в такт с изменениями напряжения.

заполнение зон электронами

Заполнение разрешенных зон электронами в Т. Т (твёрдом теле). происходит последовательно в порядке возрастания энергетич. уровней в зонах. Согласно принципу Паули для Т. т., содержащего N атомов, в каждой энергетич. зоне могут находиться 2N электронов. Вероятность заполнения уровня с энергией E определяется соотношением Ферми-Дирака: f = 1/<1 + ехр[(e — ef)kt]>, где k-константа Больцмана, EF-уровень Ферми-энергетич. уровень, вероятность заполнения к-рого при Т. 0 К равна 0,5 (м. б. интерпретирован как хим. потенциал электрона). Изоэнергетич. пов-сть, соответствующая ЕF, наз. Ферми-пов-стью. В зависимости от числа валентных электронов верхняя из заполненных зон (в а-лентная зона) м. б. занята полностью или частично. Степень заполнения валентной зоны электронами играет важную роль в формировании электрич. св-в Т. т., т. к. электроны полностью заполненной зоны не переносят ток.

Зонная теория справедлива для кристаллических Т. т. В случае аморфных Т. т. вследствие разупорядоченности их структуры разработка строгой теоретич. зонной модели сталкивается со значит. трудностями. Обычно оперируют понятием квазизапрещенных зон, разделяющих разрешенные зоны, края к-рых вследствие возмущений, вызванных структурной разупорядоченностью, в сравнении с кристаллическим Т. т. несколько сдвигаются и размываются.

Электрич. проводимость s T. т. определяется в первую очередь характером заполнения электронами энергетич. зон (см. рис.). Т. т. с металлич. типом хим. связи (металлы) характеризуются высокой степенью обобществления валентных электронов (электронов проводимости), перекрыванием разрешенных энергетич. зон и частичным заполнением разрешенных зон электронами. т. являются хорошими проводниками. В отличие от них полупроводники и диэлектрики при Т=0 К имеют полностью заполненные либо пустые, неперекрывающиеся, разрешенные зоны. Для диэлектриков характерны большие значения ширины запрещенной зоны DE между валентной (заполненной) и незаполненной зоной (зоной проводимости), вследствие чего в обычных условиях они практически не содержат своб. электронов и не проводят электрич. ток. Полупроводники, принципиально не отличаясь от диэлектриков по зонному строению, имеют меньшую ширину запрещенной зоны (условной границей между ними принято считать значение DE = 3 эВ). Вследствие теплового возбуждения при обычных т-рах часть валентных электронов переходит в зону проводимости (электроны проводимости), поэтому полупроводники, как правило, имеют промежуточную между металлами и диэлектриками s (10-8s104 См·см-1). Известны т. наз. бесщелевые полупроводники с DE = 0. Т. т. с аномально малым перекрытием разрешенных зон (напр., Sb, Bi) относят к полуметаллам.

Схема заполнения зон в диэлектриках и полупроводниках (а), металлах (б)и полуметаллах (в).

контакт 2 полупроводников с различными типами проводимости

«p-n» переход (или электронно-дырочный переход) — область контакта двух полупроводников, где происходит смена проводимости с электронной на дырочную (или наоборот).
В кристалле полупроводника введением примесей можно создать такие области. В зоне контакта двух полупроводников с различными проводимостями будет проходить взаимная диффузия. электронов и дырок и образуется запирающий электрический слой. Электрическое поле запирающего слоя препятствует дальнейшему переходу электронов и дырок через границу. Запирающий слой имеет повышенное сопротивление по сравнению с другими областями полупроводника.

Внешнее электрическое поле влияет на сопротивление запирающего слоя.
При прямом (пропускном) направлении внешнего эл. поля эл. ток проходит через границу двух полупроводников.
Т. к. электроны и дырки движутся навстречу друг другу к границе раздела. Электроны, переходя границу заполняют дырки. Толщина запирающего слоя и его сопротивление непрерывно уменьшаются.

При запирающем (обратном направлении внешнего эл. поля эл. ток через область контакта двух полупроводников проходить не будет.
Т. к. электроны и дырки перемещаются от границы в противоположные стороны.. Запирающий слой утолщается, его сопротивление увеличивается.

Таким образом, электронно-дырочный переход обладает односторонней проводимостью.

Вырожденный газ — газ, на свойства которого существенно влияют квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. У ферми-газа (к которому относится электронный газ в металле) при полном вырождении (при ) заполнены все нижние энергетические уровни вплоть до некоторого максимального, называемого уровнем Ферми, а все последующие остаются пустыми. Повышение температуры лишь незначительно изменяет такое распределение электронов металла по уровням: малая доля электронов, находящихся на уровнях, близких к уровню Ферми, переходит на пустые уровни с большей энергией, освобождая таким образом уровни ниже фермиевского, с которых был совершен переход.

При вырождении газа бозонов из частиц с отличной от нуля массой (такими бозонами могут быть атомы и молекулы) некоторая доля частиц системы должна переходить в состояние с нулевым импульсом; это явление называется Бозе — Эйнштейновской конденсацией. Чем ближе температура к абсолютному нулю, тем больше частиц должно оказаться в этом состоянии. Однако, системы таких частиц при понижении температуры до очень низких значений переходят в твёрдое или жидкое (для гелия) состояния, к которым неприменимо приближение идеального газа.

Для газа из бозонов нулевой массы, к которым относятся фотоны, температура вырождения равна бесконечности; поэтому фотонный газ всегда вырожденный, и классическая статистика к нему не применима. Фотонный газ является единственным вырожденным идеальным бозе-газом стабильных частиц. Однако Бозе-Эйнштейновской конденсации в нём не происходит, так как не существует фотонов с нулевым импульсом (фотоны всегда движутся со скоростью света).

Явление вырождения Ферми-газов играет важную роль в эволюции звёзд: так, давление электронного вырожденного газа уравновешивает тяготение в белых карликах, а давление нейтронного вырожденного газа уравновешивает тяготение в нейтронных звёздах.

Обозначения узлов и плоскостей

Множеству компланарных трансляций отвечает кристаллографическая плоскость. Вследствие

трансляционной симметрии, в кристалле существует бесконечное множество параллельных

идентичных плоскостей. Это множество плоскостей называют семейством плоскостей. В дальнейшем

мы не будем различать понятия плоскости и семейства плоскостей, говоря о плоскости мы будем иметь

ввиду семейство плоскостей.

Каждую плоскость в кристалле можно охарактеризовать нормалью. Возьмем две произвольные

Трансляции t1 и t2, векторное произведение этих трансляций будет параллельно нормали к

кристаллографической плоскости. Таким образом, вектор h = (t1*t2)/V будет характеризовать

кристаллическую плоскость. Так как вектор h можно определить для любой пары трансляций, то

каждой плоскости отвечает бесконечный набор параллельных векторов .

В каждой плоскости можно выделить две непараллельные трансляции u1 и u2, такие что

произвольная трансляция плоскости может быть представлена как линейная комбинация этих двух

трансляций. Для выбранных трансляций t1 и t2 имеем

t1 = t11u1 + t12u2

t2 = t21u1 + t22u2

t1*t2 = [(t11u1 + t12u2)*(t21u1 + t22u2)] = (t11t22 – t12t21)[u1*u2] = n[u1*u2]

где n — целое число. Так как величина векторного произведения векторов равна площади

параллелограмма, образованного этими векторам, число n показывает, сколько параллелограммов,

образованных векторами u1 и u2 лежит в параллелограмме, ограниченном векторами t1 и t2.

Таким образом, мы получили, что каждой плоскости отвечает набор параллельных векторов, длины которых отличаются в целое число раз. Если вершины этих векторов обозначать узлами, то каждой плоскости отвечает набор узлов, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.

Расстояние между этими узлами равно длине вектора h = (u1*u2)/V. Величина (u1*u2)

равна площади элементарного параллелограмма на плоскости, V — объему элементарного

параллелепипеда между двумя соседними параллельными плоскостями семейства. Величина V/(u1*u2) равна высоте этого параллелепипеда, или кратчайшему расстоянию между плоскостями

семейства плоскостей d. Таким образом, каждому семейству плоскостей мы поставили в соответствие набор параллельных векторов , нормальных к плоскостям семейства и обратно пропорциональных расстоянию между плоскостями семейства, или межплоскостным расстояниям.

Вектора h для каждого семейства плоскостей можно целочисленно разложить по трем некомпланарным векторам, при этом вершины векторов-нормалей ко плоскостям образуют решетку узлов, подобную трансляционной. Верно и обратное: каждому узлу этой решетки можно однозначно сопоставить кристаллографическую плоскость.

Все вектора называют векторами обратной решетки, вектора называют элементарными векторами обратной решетки, или базисом обратной решетки. Узлы, образованные векторами обратной решетки, называют обратной решеткой. Коэффициенты разложения векторов обратной решетки называют индексами узла обратной решетки. Общее обозначение (HKL). Очевидно, что семейству плоскостей соответствует множество узлов с кратными индексами. Приведя

эти индексы к взаимно-простому целому виду, мы получаем индексы семейства плоскостей (hkl).

Формулы (1.2) позволяют определить индексы плоскости по индексам двух направлений, лежащих в этой плоскости. Индексами семейства кристаллографических плоскостей называют три целые взаимно простые числа, пропорциональные коэффициентам разложения вектора обратной решетки, построенной для этого семейства, по обратному базису.

Формула 1.2 : h = (t1*t2)/V = ∑u1u2 * (ei*ej)/V = ∑hkek

Источник