ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ — (числовая ось, координатная прямая, координатная ось) — прямая, на которой изображают действительные числа и задают: точку О — начало отсчёта, положительное направление (от О к А) и единичный отрезок (масштаб) ОА.
Большая политехническая энциклопедия. — М.: Мир и образование . Рязанцев В. Д. . 2011 .
Смотреть что такое «ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ» в других словарях:
Числовая прямая — Числовая ось, или числовая прямая это бесконечная прямая, на которой выбраны: некоторая точка O начало отсчета; положительное направление, указанное стрелкой; масштаб для измерения длин. Между вещественными числами и числовой осью… … Википедия
Расширенная числовая прямая — (читается «эр с чертой») множество вещественных чисел , дополненное двумя элементами: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть Бесконечности … Википедия
Числовая ось — Числовая ось, или числовая прямая это прямая, на которой выбраны: некоторая точка O начало отсчёта; положительное направление, указанное стрелкой; масштаб для измерения длин. Между вещественными числами и числовой осью устанавливается … Википедия
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОНТИНУУМ — числовая прямая … Математическая энциклопедия
Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия
МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
Нейтральный элемент — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия
Единичный элемент — Нейтральный элемент бинарной операции элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Примеры 4 См. также … Википедия
Нулевой элемент — Нейтральный элемент бинарной операции элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Примеры 4 См. также … Википедия
Одномерное пространство — геометрическая модель материального мира, в которой положение точки возможно охарактеризовать всего одним числом.[1] Также одномерным пространством считается n мерное пространство, где n=1. Геометрия одномерного пространства Единственным… … Википедия
Источник
Числовая прямая
Числовая ось, или числовая прямая — это бесконечная прямая, на которой выбраны:
Между вещественными числами и числовой осью устанавливается взаимно однозначное соответствие: начало координат соответствует нулю, числовое значение произвольной точки соответствует расстоянию её до начала координат — в положительном направлении со знаком плюс, иначе — со знаком минус. [1] Таким образом, числовая ось состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствует положительным, а другой — отрицательным числам. Естественный порядок точек на прямой при таком соответствии согласуется с упорядоченностью чисел.
Числовая прямая часто используется как наглядный образ множества вещественных чисел 
(например, для построения графиков). Отрезки прямой при этом изображают числовые интервалы.
Примечания
- ↑ Существование точки-образа для любого вещественного числа гарантирует особая аксиома непрерывности, включаемая в современную аксиоматику геометрии.
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Числовая прямая» в других словарях:
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ — (числовая ось, координатная прямая, координатная ось) прямая, на которой изображают действительные числа и задают: точку О начало отсчёта, положительное направление (от О к А) и единичный отрезок (масштаб) ОА … Большая политехническая энциклопедия
Расширенная числовая прямая — (читается «эр с чертой») множество вещественных чисел , дополненное двумя элементами: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть Бесконечности … Википедия
Числовая ось — Числовая ось, или числовая прямая это прямая, на которой выбраны: некоторая точка O начало отсчёта; положительное направление, указанное стрелкой; масштаб для измерения длин. Между вещественными числами и числовой осью устанавливается … Википедия
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОНТИНУУМ — числовая прямая … Математическая энциклопедия
Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия
МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
Нейтральный элемент — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия
Единичный элемент — Нейтральный элемент бинарной операции элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Примеры 4 См. также … Википедия
Нулевой элемент — Нейтральный элемент бинарной операции элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Примеры 4 См. также … Википедия
Одномерное пространство — геометрическая модель материального мира, в которой положение точки возможно охарактеризовать всего одним числом.[1] Также одномерным пространством считается n мерное пространство, где n=1. Геометрия одномерного пространства Единственным… … Википедия
Источник
Числовые промежутки — что такое?
Числовая прямая (или, что то же самое, числовая ось) — понятие нехитрое. Более того, числовая прямая — главный помощник в решении любых заданий с неравенствами! Любых. От примитивных линейных неравенств до сложных показательных или логарифмических неравенств, систем неравенств и метода интервалов. Освоим темку, пока всё просто?)
Что такое числовая прямая? Что такое координатная прямая?
С понятием числовой прямой вы все уже сталкивались, когда изучали такие темы как координаты точек (5-й класс), страшное понятие модуля числа (6-й класс), и особенно когда рисовали графики функций (7-й класс). Вспомним ещё разок?)
Всё то же самое, ничего нового! Первым делом возьмём и нарисуем в тетрадке самую обычную прямую и дополнительно укажем на ней:
1) Начало отсчёта или начало координат (точку О);
2) Положительное направление (стрелочкой);
3) Масштаб или единицу измерения длины (например, одна тетрадная клетка).
Вот и всё. Про устройство числовой прямой вы тоже давно в курсе (надеюсь). Но на всякий случай напоминаю. Начало координат всегда соответствует числу 0. Все положительные числа изображаются на положительной полуоси справа от нуля, в направлении стрелочки. А все отрицательные — слева от нуля, на отрицательной полуоси. Большее число всегда располагается правее меньшего, а меньшее — левее большего. Элементарно, Ватсон!)
Ну хорошо, прямая и прямая. Но почему — числовая? Ответ очевиден. Каждой точке на прямой соответствует какое-то число. Положительное, отрицательное, целое, дробное, иррациональное — какое угодно. Но — число! Поэтому и прямая — числовая. Это число имеет специальное и вполне научное название — координата точки. Отсюда следует, что числовая прямая — и координатная прямая тоже. Вот так. Два термина в одном флаконе.)
А вот теперь мы с вами колоссально расширяем наши возможности. Начинаем работать с числовой прямой на полную катушку! Готовы?)
Что такое числовой промежуток? Виды числовых промежутков.
В уравнениях было всё просто. Нашли икс, да и записали в ответ. Например, х=2. В неравенствах же ответом обычно служит не одно-два числа, а промежуток. Числовой промежуток. Или даже несколько числовых промежутков. Это и смущает поначалу…) Что это за зверь такой — числовой промежуток?
Числовой промежуток — это просто какой-то кусочек числовой прямой. И всё!
Сейчас начинается самое весёлое. Сейчас мы нашу числовую прямую будем пилить.) Пилить не на дрова, а на… числовые промежутки.)
Вот прям берём числовую прямую и вырезаем из неё какой-то кусочек какими-то точками. Которые, напоминаю, соответствуют каким-то числам. Вот и получаем — числовой промежуток. Разумеется, вырезать конкретный кусочек числовой прямой можно по-разному, да…)
Соответственно, и числовые промежутки в математике бывают разных видов.
Вот они, эти виды (подкрашены красным цветом):
Смотрим на табличку и… мама родная! Какие-то непонятные кружочки (пустые внутри и закрашенные), какой-то странный иероглиф «∞», да ещё и со знаками плюс/минус, круглые и квадратные скобочки.
Вам и вправду страшно? Возможно… Но сейчас вы увидите, насколько всё просто! Читаем дальше.)
Граничные точки
Я разгадала знак бесконечность… (Земфира)
Те точки, которые нам указывают, в каких местах мы выпиливаем кусочек прямой, так и называются — граничные точки. В таблице эти самые граничные точки обозначены буковками a и b. Точка a — левая граница (меньшее число), точка b — правая граница (большее число).
А может ли числовой промежуток в каком-то направлении быть неограниченным?
А почему — нет? Запросто! Можно распилить числовую прямую не в двух точках, а в какой-то одной точке. И забрать себе одну часть — левую или правую. Бесконечную… Или — луч. Только для обозначения этой бесконечной границы буквы или числа не годятся. Зато есть специальный значок «∞«. Значок этот так и называется — «бесконечность». Очевидно, бесконечность бывает двух видов (точнее, двух знаков) — плюс (+∞) или минус (-∞). В зависимости от того, какой именно луч, какая часть прямой, правая или левая, берётся на дальнейшее рассмотрение.
Кружочки и скобочки…
Граничная точка — это, как и намекает название, точка, задающая границу числового промежутка. Слева или справа. Естественно, у думающих тут же возникает вполне логичный и важный вопрос: А куда относить саму граничную точку? Включать её в состав промежутка или нет?
Именно для ответа на этот вопрос нам и служат всякие кружочки и скобочки в обозначениях и на рисунках!
Запоминаем:
Если граничная точка в числовой промежуток НЕ ВХОДИТ, то на числовой прямой она рисуется НЕЗАКРАШЕННОЙ. Т.е. пустой внутри. В математике такие точки называются выколотыми точками. В обозначениях выколотые точки всегда соседствуют с круглыми скобками «(» или «)».
Если же граничная точка в числовой промежуток ВХОДИТ, то на числовой прямой она рисуется ЗАКРАШЕННОЙ, а в записи обозначается квадратной скобкой «[» или «]».
Вот и вся расшифровка.) Кстати говоря, специальные названия промежутков (луч, отрезок, интервал, полуинтервал) запоминать пока не обязательно. Всё равно поначалу будете путаться. Это для общей эрудиции сделано.) На практике обычно не заморачиваются и говорят «числовой промежуток такой-то…», без уточнения вида — луч, отрезок и т.д. А иногда и совсем кратко — просто «промежуток». Если и вы путаетесь — говорите так же. Не ошибётесь! А спецназвания оставим для старших классов. Но если запомнили (и поняли!) названия промежутков — что ж, только респект!)
Теперь можно потренироваться в записи и чтении числовых промежутков. Чтобы не мычать… Ну что, потренируемся?
Читаем числовые промежутки и рисуем их на оси!
С чтением и рисованием числовых промежутков обычно никаких проблем нет. Нужно только чётко понимать, что означают все эти скобочки и кружочки, что разбирались в предыдущем параграфе.
Например, задан числовой промежуток (0; 5].
Словами эта запись звучит так: числовой промежуток от нуля до пяти, не включая ноль и включая пять.
Читаем (и пишем) именно в таком порядке — от левой границы до правой.
Левая граница (т.е. число 0) соседствует с круглой скобкой «(«, о чём нам и говорят слова «не включая». Этот факт означает, что число 0 в наш промежуток не входит. Например, число 0,1 входит, и даже 0,000001 — ещё входит. Хоть чуть-чуть, да больше нуля. А вот ровно ноль — уже нет…
Пятёрка же — напротив, соседствует с квадратной скобкой «]», что говорит нам о том, что сама она также входит в наш промежуток. И отражено словом «включая» в словесной расшифровке.
А теперь нарисуем наш промежуток на оси. Для этого рисуем числовую прямую и отмечаем на ней граничные точки 0 и 5.
Заметили разницу между нулём и пятёркой? Ну да, трудно не заметить! 😉 Точка 0 изображена белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Или, по-математически, выколотой точкой. Это, как мы с вами уже выяснили, означает, что ноль — не входит в наш промежуток. В отличие от пятёрки, которая входит в промежуток. И на рисунке, соответственно, нарисованной чёрной. Закрашенной.) Я специально точки такими здоровыми изобразил. Чтобы хорошенько врезались в память…
Итак, мы отметили на оси границы промежутка. Осталось лишь отметить все остальные числа, которые входят в этот промежуток. Вы спросите: Как? Ведь между нулём и пятёркой находится бесконечно много чисел! Это и 1, и 2,5, и 3,14, и 4,9999 и так далее… И что? Все-все отмечать)?
Нет, конечно. Всё гораздо проще!) Сейчас мы с вами отметим на прямой все интересующие нас числа одним махом! Тут есть два варианта. Вариант первый — штриховка. Просто берём и подштриховываем весь кусочек прямой между 0 и 5.
Вариант второй рассмотрим на следующем примере.
В этот раз дан промежуток такой: [-3; +∞).
Для начала читаем словами название промежутка с гордо поднятой головой: Числовой промежуток от минус трёх до плюс бесконечности, включая минус три!
Вот так. А теперь вопрос на засыпку: почему я оборвал чтение на словах «включая минус три…» и не продолжил мысль гениальными словами «…и не включая плюс бесконечность»?
Всё очень просто. Бесконечность (что плюс, что минус) не может включаться никогда. Это не число, это — символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой, а в расшифровке говорится просто: «до плюс бесконечности». Или «до минус бесконечности». И всё.
А теперь всё как обычно, рисуем прямую, отмечаем на ней одну единственную точку минус три. Закрашенную, естественно, раз уж скобочка перед минус тройкой — квадратная. Вот так:
И отмечаем все остальные числа, входящие в промежуток от минус тройки до плюс бесконечности. На этот раз я отмечу нужный кусок оси дужкой (от слова дуга) вместо штриховки. Вот так:
Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Рисуйте как удобнее. Но в сложных заданиях с неравенствами, где надо постоянно пересекать и объединять много промежутков, дужки предпочтительнее, ибо штриховка куда менее наглядна. Запутаться можно.
Я предпочитаю совмещать оба способа. Получается красиво и наглядно! В следующем уроке, на примерах, сами увидите.)
Вот так рисуются числовые промежутки на оси.
Входит и выходит… ))
А какая нам разница, входит число в указанный промежуток или не входит?
Вопрос смешной. Огромная! Ответ на этот вопрос (входит/не входит) — это ключевой этап в работе с промежутками и с неравенствами вообще! Даже значки специальные придуманы для этого. Вот такие:
За этими странными значками скрываются безобидные слова «принадлежит» и «не принадлежит».
Возьмём, к примеру, промежуток (1; 3].
Входит в этот промежуток, допустим, двойка? Конечно! Раз уж она посерёдке между единичкой и тройкой… А единичка? Э-э-э… Скобка перед ней — круглая! Не входит единичка в наш промежуток. Тройка входит? Попадает на границу, но скобочка — квадратная. Значит, входит! А вот три с половиной — снова не входит. 3,5 строго больше, чем тройка. Выпадает 3,5 из нашего промежутка…
Математически, с помощью значков принадлежности, эти факты можно записать вот так:
А словами можно прочитать вот так:
Два принадлежит промежутку от одного (не включая) до трёх (включая).
Один не принадлежит промежутку от одного (не включая) до трёх (включая).
В этом уроке было простое чтение и рисование промежутков на оси. Пока — цветочки. Переходим к ягодкам. К операциям над числовыми промежутками. Те ещё грабли, да…) Об этом — в следующем уроке.
Источник
