Что значит числовая последовательность

Числовая последовательность

Числовой последовательностью называют ряд чисел, полученных по некоторому правилу или формуле.

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: \(2; 4; 6; 8; 10. \) А правило «первое число равно \(3\), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: \(3; 6; 12; 24; 48. \)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.

Например, в последовательности \(3; 6; 12; 24; 48…\) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.

То есть, если последовательность \(3; 6; 12; 24; 48…\) обозначить как \(a_n\), то можно записать, что \(a_1=3\), \(a_2=6\), \(a_3=12\), \(a_4=24\) и так далее.

порядковый номер элемента

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: \(1; \: 1; \: 1; \: 1…\) .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

— I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел .

Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: \(1; \: 2; \: 3; \: 4; \: 5\) и т.д. Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть \(1^2;\: 2^2; \: 3^2; \: 4^2; \: 5^2…\) . Таким образом, имеем ответ: \(1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…\)

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

— II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: \(b_n=\frac\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Вычислим \(b_1\). Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер \(n\) равен единице. Тогда его значение равно \(b_1=\frac<1-1> <1^2>=\frac<0><1>=0\).
У второго члена \(n=2\), то есть его значение равно \(b_2=\frac<2-1> <2^2>=\frac<1><4>\).
Третий (\(n=3\)): \(b_3=\frac<3-1> <3^2>=\frac<2><9>\).
Четвертый (\(n=4\)): \(b_4=\frac<4-1> <4^2>=\frac<3><16>\).
Пятый (\(n=5\)): \(b_5=\frac<5-1> <5^2>=\frac<4><25>\) .
Готово. Можно писать ответ.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: \(a_n=8+5n-n^2\). Вычислите \(a_9\).

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер \(n=9\). Подставляем в формулу: \(a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28\).

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: \(c_1=4\), \(c_=c_n+3\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Первый член нам известен: \(c_1=4\).
Второй мы получим, подставив в формулу вместо \(n\) единицу: \(c_<1+1>=c_1+3\)
\(c_2=c_1+3=4+3=7\)
Третий (\(n=2\)): \(c_<2+1>=c_2+3 \)
\(c_3=c_2+3=7+3=10\).

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула \(c_=c_n+3\) требовала именно этого. В ней \(c_n\) – это предыдущий элемент, а \(c_\) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента \(z_1=2;\) \(z_2=5\). Так же известна формула следующего элемента \(z_=3z_-z_n\). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:

Так как формула дана для элемента с номером \(n+2\), то чтобы найти \(z_3\) нужно подставлять вместо \(n\) единицу:
\(z_<1+2>=3z_<1+1>-z_1\)
\(z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13\)

\(z_1\)	\(z_2\)	\(z_3\)	\(z_4\)	\(z_5\)	\(. \)
\(2\)	\(5\)	\(13\)	?	?	\(. \)

Теперь найдем \(z_4\), подставив вместо \(n\) двойку:
\(z_<2+2>=3z_<2+1>-z_2\)
\(z_4=3z_3-z_2=3·13-5=34\)

\(z_1\)	\(z_2\)	\(z_3\)	\(z_4\)	\(z_5\)	\(. \)
\(2\)	\(5\)	\(13\)	\(34\)	?	\(. \)

Наконец вычисляем \(z_5\), подставляя вместо \(n\) тройку:
\(z_<3+2>=3z_<3+1>-z_3\)
\(z_5=3z_4-z_3=3·34-13=89\)

\(z_1\)	\(z_2\)	\(z_3\)	\(z_4\)	\(z_5\)	\(. \)
\(2\)	\(5\)	\(13\)	\(34\)	\(89\)	\(. \)

Готово. Можно писать ответ.

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности \(a_n=n^2-n\):

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

\(a_2=2^2-2=2\) – тоже не то.

Нужный элемент найден.

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

Подставляют заданное число в формулу \(n\) -го члена вместо \(a_n\);

Решая полученное уравнение , находят неизвестное \(n\);

Если \(n\) – натуральное , то данное число — член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число \(3\) членом последовательности \(a_n=\) \(\frac<51+2n>\) ?

Если число \(3\) – член последовательности, то значит при некотором значении \(n\), формула \(\frac<51+2n>\) должна дать нам тройку. Найдем это \(n\) по алгоритму выше.
Подставляем тройку вместо \(a_n\).

Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель \((n+4)\).

Источник

Числовая последовательность

Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.

Обозначается числовая последовательность так:

где −i-ый член последовательности.

Последовательности можно задавать тремя способами: словестно, аналитически и рекуррентно .

При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.

Последовательность нечетных чисел:

Последовательность простых чисел :

Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.

Последовательность называется заданной аналитически , если указана формула ее n-го члена.

Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой

Действительно. Взяв для n значения 1, 2, 3, . мы получим последовательность (1).

Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.

Последовательность задана рекуррентно , если указан метод вычисления n — го члена, при известных предыдущих членах последовательности.

Пример задания рекуррентной последовательности:

В этой последовательности

Определение 2. Числовая последовательность, в котором все члены равны называется стационарным .

Пример стационарной последовательности:

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей :

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей :

Возрастающие и убывающие последовательности называются также монотонными последовательностями .

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

.

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

.

Найдем разность членов и :

.

(3)

Так как n=1,2,3. то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

.

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (b_n) является возрастающей и при каких, убывающей:

.

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

.

Найдем разность членов и :

(4)

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a 10, то . Тогда последовательность является убывающей. При a=10 . Последовательность имеет одинаковые члены:

т.е. имеем дело с последовательностью

(5)

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 5. Последовательность (y_n) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что y_n Определение 6. Последовательность (y_n) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что y_n>k при любом n.

Определение 7. Последовательность (y_n) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3. Показать, что последовательность (a_n) является монотоннной и ограниченной:

.

(5)

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

.

Найдем разность членов и :

(6)

Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (a_n) возрастающая (и монотонная).

Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):

(7)

Из выражения (7) видно, что при любых n a_n≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3.

(8)

Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше . Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

(9)

(10)

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Как можно заметить из рисунков Рис.1 и Рис.2, члены последовательности , при увеличении n, постепенно приближаются к некоторой точке (в данном случае к точке O), а для последовательности такое не наблюдается. Говорят, что последовательность сходится , а полседовательность расходится .

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (y_n), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n₀, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n₀ содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (y_n), то пишут ( стремится к k или сходится к k).

Обозначают это так:

.

(11)

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал , где радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n₀, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

.

Если же взять другую окресность (пусть ), то найдется другой номер n₁, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n₁ > n₀.

Пример 4. Дана полследовательность (y_n):

.

(12)

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы .

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

.

.

В качестве n₀ берем 501. Имеем:

.

.

(13)

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

.

Далее, учитывая (13), имеем:

.

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность . А по определению 8, это означает:

.

Пример 5. Дана полследовательность (y_n):

.

(14)

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы

.

(15)

.

.

,

(16)

.

(17)

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n₀ натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что для любого n₀). Из неравенства (16) можно найти номер n₀, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда . Тогда нужно брать n₀=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

.

Легко проверить, что . Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

.

Пример 6. Найти предел последовательности

.

(18)

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

.

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

(19)

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

.

На Рис. 3 представлена функция . Абсцисы нарисованных точек это номера членов последовательности, а ординаты образуют последовательность (18) (или (19)). Прямая y=1 (горизонтальная пунктирная линия) называется горизонтальной асимптотой . Как видно из Рис.3 последовательность приближается к горизонтальной асимптоте.

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:.

Теорема. Если , то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

.

2. Предел произведения равен произведению пределов:

.

3. Предел частного равен частному пределов:

4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:

.

Пример 7. Найти предел последовательности:

.

Решение. Так как , то

.

Пример 8. Найти предел последовательности:

.

Решение. Применив правило «предел суммы» теоремы, получим

.

Пример 9. Вычислить:

.

Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило «предел суммы» для числителя и знаменателя и правило «предел частного»:

Источник