Что значит число с буквой е

Экспоненциальная запись чисел

Онлайн калькулятор для перевода чисел в экспоненциальный вид и обратно, другим языком для вычисления чисел с буквой E.
На компьютере (в частности в тексте компьютерных программ) экспоненциальную запись записывают в виде MEp (пример 1e-10), где:

M — мантисса,
E (exponent) — буква E в числе, означающая «*10^» («…умножить на десять в степени…»),
p — порядок.
Это необходимо для представлении очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания.

Многие пользователи калькуляторов столкнулись с вопросом: Что означает буква «E» в цифровом калькуляторе?
Это Экспоненциа́льная за́пись— представление действительных чисел в виде мантиссы и порядка. Удобна для записи очень больших и очень малых чисел.

Например, расшифруем эти числа:
Е — это 10, цифры после Е — показатель степени, в который возводится 10.
0.66E004 = 0,66 * 10^4 = 0.66*10000 = 6600
0.66E-007 = 0.66 * 10^(-7) = 0.66 * 0.0000001 = 0.000000066
0.66E11 = 0.66 * 10^11 = 0.66 * 100000000000 = 66000000000
Также калькулятор способен не только расшифровать большие или малые числа с буквой E но и сделать обратное действие, т.е перевести числа в экспоненциальную запись.

Вычислим числа с буквой «е«:
1e-10 = 0.0000000001 — ноль целых одна десятимиллиардная
6e+17 = -600000000000000000000
Есть число 2.6E3. Что означает буква Е = 2 600 — две тысячи шестьсот
1Е+6 = равен миллиону 1 000 000

Источник

Число Эйлера (e)

Число e (или, как его еще называют, число Эйлера) – это основание натурального логарифма; математическая константа, являющаяся иррациональным числом.

Способы определения числа e (формула):

1. Через предел:

Второй замечательный предел:

Альтернативный вариант (следует из формулы Муавра – Стирлинга):

2. Как сумма ряда:

Свойства числа e

1. Предел обратного числа e

2. Производные

Производной экспоненциальной функции является экспоненциальная функция:

Производной натуральной логарифмической функции является обратная функция:

3. Интегралы

Неопределенным интегралом экспоненциальной функции e x является экспоненциальная функция e x .

Неопределенный интеграл натуральной логарифмической функции log_e x:

Определенный интеграл от 1 до e обратной функции 1/x равен 1:

Логарифмы с основанием e

Натуральный логарифм числа x определяется как базовый логарифм x с основанием e:

Экспоненциальная функция

Это показательная функция, которая определяется следующим образом:

Формула Эйлера

Комплексное число e iθ равняется:

где i – мнимая единица (квадратный корень из -1), а θ – любое действительное число.

Источник

Число Эйлера

Это число приблизительно равно 2,71828 . Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». На самом деле число Эйлера или число e не ограничивается этими пятью знаками после запятой.

Число Эйлера можно записать так: 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354 …

Однако и этим число Эйлера не будет ограничено.

Таким образом данное число представимо в виде бесконечной дроби, рекурсивной функции, ряда и предела.

Давайте уже разберем что же это за число.

Когда мы берем за основание число 1+1/n, близкое к единице, например 1,00001, то для небольших чисел получаются огромные логарифмы, например число 3 имеет логарифм 109861. Чтобы этот логарифм был величиной того же порядка, что и число 3, его следует уменьшить в 100000 раз. Тогда он имел бы величину 1,09861. Число 3 будет иметь логарифм 1,09861, если за основание взять не 1+1/n равное 1,00001, а (1+1/n)^n равное 1,00001^100000. Если мы найдем величину 1,00001^100000, то с точностью до восьмого знака найдем (1+1/n)^n при n равное 100000, будет равно 2,71826763. Обратите внимание это число очень близко к числу e.

Таким образом чем больше взять число n, тем меньше число формулы (1+1/n)^n будет отличаться от числа e. Иначе говоря, число e есть предел, к которому стремится (1+1/n)^n , при неограниченном возрастании числа n.

Источник

Число е

Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757… [1]

Содержание

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

• Через предел: (второй замечательный предел).
• Как сумма ряда: или .
• Как единственное число a, для которого выполняется
• Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

• 
  Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.
• Число eиррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 годуШарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
• , см. формула Эйлера, в частности
  • 
• Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
• Для любого комплексного числаz верны следующие равенства:
• Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом: , то есть
• 
• Представление Каталана:

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler ).

Способы запоминания

• Для получения приблизительного значения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли».
• Стишок:

Два и семь, восемнадцать, Двадцать восемь, восемнадцать, Двадцать восемь, сорок пять, Девяносто, сорок пять.

• Легко запомнить как 2, далее запоминаем 71, потом повторяющиеся 82, 81, 82
• Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
• Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
• В другом варианте правила e связывается с президентом СШАЭндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

Доказательство иррациональности

Пускай рационально. Тогда , где и целые положительные, откуда

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

— целое

Но с другой стороны

Интересные факты

• В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
• В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN[2] :

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e , которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Примечания

1. ↑2 миллиона цифр после запятой
2. ↑Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — (Библиотека программиста). — ISBN 978-5-388-00003-3

См. также

Ссылки

• История числа e (англ.)
• e for 2.71828… (история и правило Джексона, англ.)
• последовательность A001113 в OEIS

Числа с собственными именами
Вещественные	Золотое сечение | e (число Эйлера) | Пи | Число Скьюза
Натуральные	Чёртова дюжина | Число зверя | Число Рамануджана — Харди
Степени десяти	Мириада | Гугол | Асанкхейя | Гуголплекс
Степени тысячи	Тысяча | Миллион | Миллиард | Биллион | Триллион … | … Центиллион | Зиллион
Степени двенадцати	Дюжина | Гросс | Масса
Литературные меры счёта	Доцанд | Мириад

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Число е» в других словарях:

число — Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109. Число бетатронных колебаний … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

число — сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева

ЧИСЛО — ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… … Толковый словарь Ушакова

ЧИСЛО — абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия

Число — Число грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… … Лингвистический энциклопедический словарь

ЧИСЛО e — Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера

число — а; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное … Энциклопедический словарь

ЧИСЛО — ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… … Толковый словарь Даля

ЧИСЛО — ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова

ЧИСЛО Е — ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590. является пределом выражения (1/ ) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… … Научно-технический энциклопедический словарь

число — Количество, наличность, состав, численность, контингент, сумма, цифра; день.. Ср. . См. день, количество . небольшое число, несть числа, расти числом. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские… … Словарь синонимов

Источник