Биссектриса треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).
 |
Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.
Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).
 |
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
 |
Доказательство. Проведем биссектрисы AA1, BB1 и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC1 (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).
Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).
 |
Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.
Длина биссектрисы треугольника
Рассмотрим треугольник на Рис.5.
 |
Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:
 |
где p − полупериметр треугольника ABC, \( \small \gamma -\) угол между биссектрисой \( \small l_c\) и вершиной \( \small h_c:\)
 ,  |
Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:
 | (1) |
А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если lc является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:
 | (2) |
Поскольку 
то (2) можно переписать так:
 | (3) |
 |
 | (4) |
 |
 | (5) |
Подставим (4) и (5) в (1):
  |
 . | (6) |
 . |
Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):
    , |
 . | (7) |
 . | (8) |
Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:
| . | (9) |
Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):
  . |
 . | (10) |
Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:
 , |
 , |
 . |
Учитывая, что 
, получим:
  |
 . |
 . | (11) |
Для \( \small \sin C \) применим формулу синуса двойного угла:
 . | (12) |
Подставляя (12) в (11) получим:
  . |
 . | (13) |
Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:
 . |
 . |
Остается показать, что .
Поскольку биссектриса lc делит угол C пополам, то:
Источник
Биссектриса внешнего угла треугольника
Чему равен угол, который образует биссектриса внешнего угла треугольника с биссектрисой смежного ему внутреннего угла?
Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.
Дано: ∆ ABC,
∠BAP — внешний угол при вершине A,
AN — биссектриса ∠BAP,
AM — биссектриса ∠BAC.
Доказательство: (аналогично доказательству об угле между биссектрисами смежных углов).
Так как внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом при данной вершине, то по свойству смежных углов
Так как AN — биссектриса внешнего угла BAP, то
Так как AM — биссектриса угла BAC, то
Итак, мы доказали, что биссектриса внешнего угла треугольника образует с биссектрисой внутреннего угла при данной вершине прямой угол:
Вывод: если требуется найти угол между биссектрисами внешнего и внутреннего углов треугольника, знать градусные меры самих углов не требуется. Каким бы ни был внешний угол треугольника, его биссектриса перпендикулярна биссектрисе смежного внутреннего угла.
4 Comments
докажите что биссектриса внешнего угла противоположного основанию равнобедренного треугольника параллельна основатию этого угла
Решите пожалуйста. Один из углов треугольника равен альфа. Найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведённых из вершин двух других углов.
Источник
Что значит биссектриса внешнего угла треугольника
Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 259) и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М с продолжением стороны АВ. Так как ВК — биссектриса угла ABC, то 
. Далее, 
как соответственные углы при параллельных прямых, и 
как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда 
и поэтому 
— равнобедренный, откуда 
. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем 
а ввиду 
получим 
, что и требовалось доказать.
Биссектриса внешнего угла В треугольника ABC (рис. 260) обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершин А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника:
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рис. 260 проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Читатель сам убедится в равенстве углов ВМС и ВСМ, а значит, и сторон ВМ и ВС треугольника ВМС, после чего требуемая пропорция получится сразу.
Можно говорить, что и биссектриса внешнего угла делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; нужно лишь условиться допускать «внешнее деление» отрезка.
Точка L, лежащая вне отрезка АС (на его продолжении), делит его внешним образом в отношении 
если 
Итак, биссектрисы угла треугольника (внутреннего и внешнего) делят противолежащую сторону (внутренним и внешним образом) на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Задача 1. Боковые стороны трапеции равны 12 и 15, основания равны 24 и 16. Найти стороны треугольника, образованного большим основанием трапеции и ее продолженными боковыми сторонами.
Решение. В обозначениях рис. 261 имеем для отрезка 
служащего продолжением боковой стороны 
пропорцию 
откуда легко находим 
Аналогичным способом определяем вторую боковую сторону треугольника 
Третья сторона совпадает с большим основанием: 
.
Задача 2. Основания трапеции равны 6 и 15. Чему равна длина отрезка, параллельного основаниям и делящего боковые стороны в отношении 1:2, считая от вершин малого основания?
Решение. Обратимся к рис. 262, изображающему трапецию. Через вершину С малого основания проведем линию, параллельную боковой стороне АВ, отсекающую от трапеции параллелограмм. Так как 
, то 
отсюда находим 
. Поэтому весь неизвестный отрезок KL равен 
Заметим, что для решения этой задачи нам не нужно знать боковых сторон трапеции.
3адача 3. Биссектриса внутреннего угла В треугольника ABC рассекает сторону АС на отрезки 
на каком расстоянии от вершин А и С пересечет продолжение АС биссектриса внешнего угла В?
Источник
