Что значит бесконечность плюс бесконечность

Почему бесконечность делёная на бесконечность — это неопределённость, а не единица?

бесконечность понятие очень сложное, в том числе и с математической точки зрения.
бесконечность/бесконечность это неопределенность по тому, что в одном случаее это может быть 1, в другом 2, а в третьем 0 или бесконечность.

В примере, который привели Вы. x/x получается 1. Если брать (2*x)/x получим два, а веть это тоже беск/беск.
Если рассматривать (x)/(x*x) получим 0, а (x*x)/(x) бесконечность.

Кроме того нада понимать, что понятие бесконечности абстрактно., и в каждой науке имеетсвои оттенки.
P.S. Если вам это интересно, займитсь математикой.

Бесконечность в математике — штука очень сложная.
Недостаточно сказать, что вы получили бесконечность — важно указать, каким способом она получилась.
Типовая бесконечность получается путем предельного перехода, то есть мы рассматриваем все большие и большие числа в нашем выражении и можем в некоторых случаях увидеть, что результат приближается к некоторому числу — пределу. В этом случае результат определен. В другом случае, результат может быстро увеличиваться. В таком случае говорят, что предел бесконечен. Но эта бесконечность уже другая, не одинаковая с исходной. Наконец в третьем случае, никакой закономерности получить не удается — предела нет и результат неопределен.
Если в Вашем выражении неизвестно, каким способом получена Ваша бесконечность, то оно чаще всего не определено.

К слову — у бесконечностей еще впридачу есть хитрое свойство — мощность. Оно отражает, насколько одна бесконечность бесконечнее другой. Например, количество вещественных чисел (бесконечность мощности 1) бесконечнее количества целых чисел (бесконечность мощности 0).

Источник

Бесконечность и её бесконечные парадоксы

Вы когда-нибудь были на детской площадке, играя в игру, называя самое большое число, которое вы можете придумать? Как быстро кто-то говорит «бесконечность»? Затем следующий человек говорит «бесконечность плюс один», и кажется, что игра никогда не закончится. Но действительно ли бесконечность плюс один больше бесконечности? Можем ли мы заниматься математикой с бесконечностью?

Георг Кантор (1845–1918) был одним из первых математиков, изучавших бесконечность. Он придумал различные примеры появления бесконечности в математике. Он также обнаружил, что существуют разные типы бесконечности. Это заставило других математиков отвергнуть его работу как некорректную и запутанную. Именно Дэвид Гильберт сделал бесконечность понятной в 1924 году. Его объяснение было историей об отеле, в котором, даже когда он был заполнен, было место для большего количества гостей. Эта статья пытается объяснить бесконечность аналогичным образом.

Бесконечность — штука странная и сбивающая с толку математиков. Чтобы помочь нам понять странное поведение бесконечности, математики вернулись к основам и попытались определить, что значит считать .

Представьте, что у вас есть сумка, полная сладостей. Вы не видите содержимое сумки, но хотите знать, сколько у вас сладостей. Лучший способ сделать это — достать из пакета первую конфету и сказать «один». Затем вы достаете вторую конфету и говорите «два». Вы бы продолжали делать это, пока сумка не опустеет. Последнее число, которое вы скажете, — это сколько сладостей у вас в сумке. Так мы учимся считать, независимо от того, какие предметы у вас в сумке.

Мощность множества, кардинальное число множества — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

Мощность предметов в сумке — количество предметов в сумке. Например, мешок с тремя конфетами имеет мощность три. Сумка с одной конфеткой, одним роботом и карандашом также имеет мощность три. Неважно, что это за предметы, имеет значение только количество. В сумке могут быть более абстрактные объекты, например сумка с номерами 1, 2 и 3.

В двух сумках с одинаковой мощностью находится одинаковое количество предметов. Мы можем объединить объекты в обе сумки, и ни в одной из них ничего не останется. Это дает нам еще один способ подсчета объектов. Если нам известна мощность одного мешка, но неизвестна мощность другого, мы можем проверить, можем ли мы объединить объекты в пары в обоих мешках.

Например, у вас есть пакет конфет, но вы не знаете, сколько конфет в нем. На этот раз у вас тоже восемь друзей. Если вы можете дать каждому из восьми друзей ровно по одной сладости, не оставив сладостей, то мощность пакета со сладостями будет равна восьми. Если хотя бы один друг не получит конфету, то мощность мешка меньше восьми. Если хотя бы одна конфета осталась, то мощность пакета больше 8.

Счетное множество

Представьте себе сумку, содержащую все «Натуральные числа», мешок, содержащий все положительные числа, 1, 2, 3, 4 и так далее.

Мы используем символ ℕ для обозначения этого мешка . Какова мощность? Очевидно, что у него нет мощности 4, так как ℕ содержит как минимум пять объектов, а именно числа 1, 2, 3, 4 и 5. Та же логика работает для любого числа. Выберите любое число, скажем n , тогда мешок ℕ будет содержать не менее n + 1 объектов, а именно числа 1, 2, 3,…, n и n + 1. Это показывает, что мощность ℕ не является числом, и мы говорим, что ℕ счетно бесконечно.

Сумка, содержащая бесконечно много предметов, но мы все еще можем их подсчитать. Другими словами, мешок той же мощности, что и ℕ.

Мешок объектов счетно бесконечен, если он имеет ту же мощность, что и ℕ. Другими словами:

1. В сумке бесконечно много предметов, поэтому мы всегда можем что-то из нее вытащить.
2. Мы можем связать каждый объект в сумке с уникальным положительным целым числом (другими словами, мы можем подсчитать объекты).

Пример 1: четные числа

Представьте себе две сумки. Одна со всеми положительными числами называется ℕ, а другая со всеми положительными четными числами, который называется 2ℕ. Казалось бы, положительных чисел больше, чем положительных четных. Но мы покажем, что вы можете связать каждое четное число ровно с одним числом таким образом, чтобы не было остатков. Выходит, что и 2ℕ имеют одинаковую мощность.

Прежде чем мы это сделаем, нам нужен способ отличить числа, которые мы берем из сумки ℕ, и четные числа, которые мы берем из сумки 2ℕ. Мы добавляем «-е» в конец любого числа из пакета ℕ. Примеры:

• 6-е — число N, а 6 — четное число от 2ℕ.
• 7-е — это число от ℕ, а поскольку 7 не четное, его нет в нашей сумке 2ℕ.

Чтобы объединить числа из ℕ и 2ℕ в пару, нужно сказать: n- е число соединяется с четным числом 2 n . Примеры:

• Четвертое число сочетается с четным числом 8.
• Пятое число ставится в пару с четным числом 10.
• 57-е число связано с четным числом 114.

Мы видим, что каждое число из ℕ попадает в пару с четным числом. Также видим, что каждое четное число объединяется с числом, так как четное число n объединяется с ( n ÷ 2) -м числом. Это означает, что мы соединили каждое число в ℕ с числом в 2ℕ, и никаких остатков нет ( рис. 1 ). Следовательно, и 2ℕ имеют одинаковую мощность. Мешок с четными числами счетно бесконечен. Это означает, что положительных чисел столько же, сколько положительных четных.

ДОБАВЛЕНИЕ ЕДИНИЦЫ К БЕСКОНЕЧНОСТИ

Пример 2: Представьте себе две сумки, каждая из которых содержит все положительные числа. Обе сумки в настоящее время содержат одинаковое количество объектов (они оба счетно бесконечны). Теперь добавьте один предмет, букву A, во вторую сумку. Во второй сумке больше предметов, чем в первой? Нет, на самом деле у них одинаковое количество предметов.

Как и раньше, мы называем первый мешок ℕ и добавляем «-е» в конец любого числа в этом мешке. Второй пакет, содержащий A, 1, 2, 3 и т. Д., Будет называться ℕ 0 . Мы объединяем каждый объект в с одним объектом в ℕ 0, используя два правила:

1. 1-е число ставится в пару с буквой A из ℕ 0 .
2. Когда n не равно единице, n- е число соединяется с числом n — 1 из ℕ 0 .

• 1-е число ставится в пару с буквой А.
• 5-е число связано с числом 4.
• 30-е число связано с числом 29.

Таким образом, каждый объект в связан с одним объектом в ℕ 0 . Следовательно, обе сумки имеют одинаковую мощность, а значит одинаковое количество объектов.

Эта логика работает для любого количества вещей, которые мы добавляем в корзину ℕ. Итак, сколько бы конечных вещей мы ни добавили к ℕ, мешок по-прежнему счетно бесконечен и содержит такое же количество объектов.

ДОБАВЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ К БЕСКОНЕЧНОСТИ

Пример 3 : Мы видели, что мешок, содержащий все положительные числа, счетно бесконечен. По той же логике мешок, содержащий все отрицательные числа, также счетно бесконечен. Что, если мы поместим в один пакет все положительные числа, все отрицательные числа и 0? Эта сумка больше, чем сумка ℕ?

Мы будем использовать символ Z, означает мешок, содержащий все числа (положительные, отрицательные и ноль) . Чтобы соединить числа в ℕ с числами Z, нам нужно использовать более сложные правила.

1. Если n нечетное, то n- е число ставится в пару с числом ( n — 1) ÷ 2 в ℤ.
2. Если n четно, то n- е число ставится в пару с числом– ( n ÷ 2) в ℤ.

• 4 четное и 4 ÷ 2 = 2. Итак, 4-е число ставится в пару с числом –2.
• 5 нечетно, поэтому мы делаем 5 — 1 = 4 и 4 ÷ 2 = 2. Итак, 5-е число объединяется с числом 2.
• 24-е число ставится в пару с числом –12.
• 57-е число ставится в пару с числом 28.

Опять же, мы соединили каждый объект в с объектом в ℤ ( рисунок 2 ). Это означает, что они имеют одинаковую мощность. Следовательно, счетно бесконечно. Чисел (положительных и отрицательных) столько же, сколько положительных.

Источник

Математический анализ
Записки лекций

Илья Щуров (НИУ ВШЭ)

7 Вокруг бесконечных пределов

7.1 Арифметика пределов и бесконечности

7.1.1 Ошибочное и верное применение арифметики пределов

Следующая цепочка равенств содержит ошибку. Попробуйте найти её, не заглядывая ниже.

Собственно, неверны все равенства. В первом равенстве, применяя теорему о пределе частного, мы предполагаем, что пределы числителя и знаменателя существуют. Однако, как мы выясняем в дальнейшем, они оба равны бесконечности, то есть не существуют. Это означает, что первый переход сделать нельзя. Второй и третий переходы просто не имеют смысла, поскольку ∞ ∞ — не является нормальным арифметическим выражением, и обычные правила арифметики здесь не работают — нельзя дробь «сократить на бесконечность».

Как следовало решать этот номер? Нужно было преобразовать дробь таким образом, чтобы пределы числителя и знаменателя существовали. Это можно сделать, разделив числитель и знаменатель на n 2 (значение дроби от этого не поменяется, и n 2 никогда не равно нулю, так что можно смело делить). Имеем:

Теперь можно проследить, что каждое из правил арифметики пределов применено обоснованно. Теорема о пределе суммы к числителю и знаменателю была применена обоснованно, потому что предел каждого из слагаемых существует. Теперь мы видим, что теорема о пределе произведения ко всей дроби тоже была применена обоснованно: мы нашли предел числителя и знаменателя, они оказались конечными числами, предел знаменателя не равен нулю. Имеем:

7.1.2 Неопределенности

Приведём пример ещё одной неопределенности: ( ∞ ) + ( ∞ ) . (Я взял каждую из бесконечностей в скобки, чтобы подчеркнуть, что это «бесконечности без знака».) Действительно, пусть мы знаем, что a n → ∞ и b n → ∞ . Что можно сказать про lim n → ∞ ( a n + b n ) ? Он может равняться чему угодно:

• Любому вещественному числу A : возьмём a n = n , b n = − n + A . (Напомним, что мы требуем, чтобы оба слагаемых стремились к бесконечности без знака, и значит < − n + A >подходит: по модулю эта последовательность становится сколь угодно большой.)
• Плюс бесконечности: возьмём a n = n , b n = n .
• Минус бесконечности: возьмём a n = − n , b n = − n .
• Не иметь ни конечного, ни бесконечного предела: возьмём a n = n , b n = ( − 1 ) n ⋅ n .
• Бесконечности без знака, которая не является ни плюс, ни минус бесконечностью (придумайте пример).

Есть и другие примеры неопределенностей: 0 / 0 , 0 ⋅ ∞ , 1 ∞ и др.

С 1 ∞ мы разберёмся позже, когда обсудим логарифмы.

Источник

Что такое бесконечность плюс число?

Бесконечность плюс число

Если число прибавляется к бесконечности или вычитается из нее, результат — бесконечность.

В связи с этим, какова ценность бесконечности?

Символ бесконечности — это ∞.

Что касается этого, является ли бесконечность в 2 раза больше бесконечности?

Бесконечность никогда не может быть меньше или больше бесконечности. Бесконечность — это не число. Это размер, множество. Георг Кантор доказал, что существуют 2 и только 2 размера бесконечности.

Кроме того, Омега больше, чем бесконечность?

АБСОЛЮТНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ . Это наименьшее порядковое число после «омеги». Неформально мы можем думать об этом как о бесконечности плюс один. … Чтобы сказать омега и один «больше, чем «Омега» мы определяем размерность как означающую, что один порядковый номер больше другого, если меньший порядковый номер включен в набор большего.

Бесконечность равна нулю? Ноль не равен бесконечности. Ноль — это число, но не бесконечность. 0 — это и число, и цифровая цифра, используемые для представления этого числа. Бесконечность — это число больше, чем любая присваиваемая величина или счетное число (символ ∞).

Омега больше бесконечности?

АБСОЛЮТНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ . Это наименьший порядковый номер после «омеги». Неформально мы можем думать об этом как о бесконечности плюс один.

Что равно бесконечности?

Числа — Бесконечность — Содержание

Бесконечность считается неисчислимо большим числом. В математике его нет в наборе действительных чисел, и поэтому это вообще не число. Бесконечный ответ на уравнение не определено. Например, деление любого числа на ноль дает бесконечность, поэтому ответ не определен.

Что такое высший уровень бесконечности?

Наибольшая бесконечность абсолютная бесконечность(который был бы классифицирован под этим символом Ω или этим символом ω). Наименьшая бесконечность — это алеф-0 (который обозначается этим символом ℵ). Обычно, когда вы думаете о бесконечности, это буквально бесконечный набор чисел.

Что больше бесконечности 1 или бесконечности?

Да, бесконечность + 1 больше, чем такая же бесконечность, но без +1, но поскольку он все еще считается бесконечностью, он не будет иметь существенной разницы, если эти два не будут вычтены.

Определена ли 1 бесконечность?

Бесконечность — это понятие, а не число; следовательно, выражение 1 / бесконечность фактически не определено. В математике предел функции возникает, когда x становится все больше и больше по мере приближения к бесконечности, а 1 / x становится все меньше и меньше по мере приближения к нулю.

Google больше бесконечности?

Почти неизбежно на этом этапе кто-то предлагает еще большее число, «гуголплекс». Это правда, что слово «гуголплекс» было придумано для обозначения единицы, за которой следуют нули гугол. Это намного больше, чем жалкий гугол! … Верно, но нет ничего больше бесконечности: бесконечность — это не число.

Пи больше бесконечности?

Самый естественный способ интерпретировать «Пи бесконечно» — это как означающее «Пи не ограничено сверху». это очевидно ложь в этом смысл, так как пи меньше четырех.

Что такое бесконечность в степени 0?

Ответ: Бесконечность в степени нуля равна one.

Какое значение 0 * бесконечность?

0. Когда вы умножаете любое число на 0, вы получаете 0. Итак, когда вы умножаете 0 на бесконечность, вы получаете 0. Действительно нет ответа.

Что такое Ln бесконечность?

Ответ на этот вопрос ∞ . Функция натурального логарифма строго возрастает, поэтому она всегда растет, хотя и медленно. Производная y ‘= 1x, поэтому она никогда не равна 0 и всегда положительна. Вы также можете посмотреть на это как: n = ln∞

1 0 неопределенный или бесконечность?

В математике такие выражения, как 1/0 не определены. Но предел выражения 1 / x, когда x стремится к нулю, равен бесконечности. Точно так же выражения типа 0/0 не определены. Но предел некоторых выражений может принимать такие формы, когда переменная принимает определенное значение, и они называются неопределенными.

Определяется ли 0 делить на 3?

0 разделить на 3 равно 0. В общем, чтобы найти a ÷ b, нам нужно найти, сколько раз b вписывается в a. Когда мы делим ноль на .

Гуголплекс больше бесконечности?

Или гугол гугол? Почти неизбежно на этом этапе кто-то предлагает еще большее число, «гуголплекс». Это правда, что слово «гуголплекс» было придумано для обозначения единицы, за которой следуют нули гугол. … Верно, но нет ничего большим, чем бесконечность: бесконечность — это не число.

Вечность больше бесконечности?

Вечность против бесконечности

В то время как бесконечность — это то, что нельзя выразить или измерить в единицах или измерениях, вечность — это то, что присутствует во все времена, что-то, что не имеет конца или начала.

Что больше бесконечности?

Различные бесконечные множества могут иметь разную мощность, и некоторые из них больше, чем другие. За пределами бесконечности, известная как ℵ₀ (мощность натуральных чисел) есть ℵ₁ (что больше)… ℵ₂ (который еще больше)… и, по сути, бесконечное множество различных бесконечностей.

Что такое 1 2 3 до бесконечности?

Для тех из вас, кто не знаком с этой серией, которая стала известна как суммирование Рамануджана в честь известного индийского математика по имени Шриниваса Рамануджан, она утверждает, что если вы сложите все натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до бесконечности, вы обнаружите, что оно равно -1/12.

Можете ли вы добавить 1 к бесконечности?

Если прибавить единицу к бесконечности, у тебя все еще есть бесконечность; у вас нет большего числа. Если вы в это верите, то бесконечность — это не число.

1% бесконечности по-прежнему бесконечность?

Итак, согласно этому анализу, 1 процент бесконечности по-прежнему бесконечность.

1 до бесконечности E?

1 в степени бесконечности всегда равен 1.

Почему 1 в степени бесконечности не равно 1?

В контексте действительных и комплексных чисел 1^ ∞ не определено просто потому, что показатель степени is не число. Можно иметь пределы вида x ^ y, значение которого зависит от того, как x переходит в 1 когда y становится сколь угодно большим.

Источник