Что значит асимптотическая формула

асимптотическая формула

Энциклопедический словарь . 2009 .

Смотреть что такое «асимптотическая формула» в других словарях:

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА — приближенно связывает некоторую (сложную) функцию с более простой функцией при больших (или малых) значениях аргумента … Большой Энциклопедический словарь

асимптотическая формула — asimptotinė formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. asymptotic formula vok. asymtotische Formel, f rus. асимптотическая формула, f pranc. formule asymptotique, f … Fizikos terminų žodynas

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА — формула, содержащая символы о малое, О большое или знак эквивалентности (асимптотическое равенство функций). Примеры А. ф. число простых чисел, не превосходящих х). Б. М. Бредихин … Математическая энциклопедия

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА — приближённо связывает нек рую (сложную) функцию с более простой функцией при больших (или малых) значениях аргумента … Естествознание. Энциклопедический словарь

Формула Дирихле — для числа делителей асимптотическая формула где число делителей , постоянная Эйлера Маскерони, а O большое. О доказательстве … Википедия

Асимптотическая кривая — (асимптотическая линия) кривая на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности , т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую… … Википедия

Асимптотическая свобода — Асимптотическая свобода физический эффект, возникающий в некоторой калибровочной теории, в которой взаимодействие между частицами, такими как кварки, становится каким угодно малым при уменьшении расстояния между частицами. Другими словами в … Википедия

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — линия Г на регулярной поверхности F, нормальная кривизна к рой вдоль Г равна нулю; А. л. определяется дифференциальным уравнением: где II вторая квадратичная форма поверхности. Соприкасающаяся плоскость А. л. Г (там, где она существует) совпадает … Математическая энциклопедия

ДИРИХЛЕ ФОРМУЛА — числа делителей асимптотическая формула где t(n) число делителей п, С Эйлера постоянная. Д. ф. получил П. Дирихле (P. Dirichlet) в 1849, заметив, что указанная сумма равна числу точек ( х, у )с целыми положительными координатами в области,… … Математическая энциклопедия

Факториал — числа n (лат. factorialis действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно … Википедия

Источник

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

формула, содержащая символы о — малое, О — большое или знак эквивалентности

(асимптотическое равенство функций).

— число простых чисел, не превосходящих х). Б. М. Бредихин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Смотреть что такое «АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА» в других словарях:

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА — приближенно связывает некоторую (сложную) функцию с более простой функцией при больших (или малых) значениях аргумента … Большой Энциклопедический словарь

асимптотическая формула — приближённо связывает некоторую (сложную) функцию с более простой функцией при больших (или малых) значениях аргумента. * * * АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА, приближенно связывает некоторую (сложную) функцию с более простой… … Энциклопедический словарь

асимптотическая формула — asimptotinė formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. asymptotic formula vok. asymtotische Formel, f rus. асимптотическая формула, f pranc. formule asymptotique, f … Fizikos terminų žodynas

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА — приближённо связывает нек рую (сложную) функцию с более простой функцией при больших (или малых) значениях аргумента … Естествознание. Энциклопедический словарь

Формула Дирихле — для числа делителей асимптотическая формула где число делителей , постоянная Эйлера Маскерони, а O большое. О доказательстве … Википедия

Асимптотическая кривая — (асимптотическая линия) кривая на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности , т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую… … Википедия

Асимптотическая свобода — Асимптотическая свобода физический эффект, возникающий в некоторой калибровочной теории, в которой взаимодействие между частицами, такими как кварки, становится каким угодно малым при уменьшении расстояния между частицами. Другими словами в … Википедия

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — линия Г на регулярной поверхности F, нормальная кривизна к рой вдоль Г равна нулю; А. л. определяется дифференциальным уравнением: где II вторая квадратичная форма поверхности. Соприкасающаяся плоскость А. л. Г (там, где она существует) совпадает … Математическая энциклопедия

ДИРИХЛЕ ФОРМУЛА — числа делителей асимптотическая формула где t(n) число делителей п, С Эйлера постоянная. Д. ф. получил П. Дирихле (P. Dirichlet) в 1849, заметив, что указанная сумма равна числу точек ( х, у )с целыми положительными координатами в области,… … Математическая энциклопедия

Факториал — числа n (лат. factorialis действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно … Википедия

Источник

Асимптотический анализ

В математическом анализе , асимптотический анализе , также известный как асимптотики , является методом описания предельного поведения.

В качестве иллюстрации предположим, что нас интересуют свойства функции f ( n ), когда n становится очень большим. Если f ( n ) = n 2 + 3 n , то, когда n становится очень большим, член 3 n становится несущественным по сравнению с n 2 . Функция F ( п ) называется « асимптотически эквивалентны для п 2 , а п → ∞ ». Часто это обозначается символически как f (n )

n 2 , что читается как « f ( n ) асимптотична n 2 ».

Примером важного асимптотического результата является теорема о простых числах . Пусть π ( x ) обозначает функцию подсчета простых чисел (которая не связана напрямую с константой pi ), т.е. π ( x ) — это количество простых чисел , которые меньше или равны x . Тогда теорема утверждает, что

π ( Икс ) ∼ Икс пер ⁡ Икс . <\ displaystyle \ pi (x) \ sim <\ frac <\ ln x>>.>

СОДЕРЖАНИЕ

Определение [ править ]

Формально по функциям f ( x ) и g ( x ) мы определяем бинарное отношение

ж ( Икс ) ∼ грамм ( Икс ) ( в виде Икс → ∞ ) <\ Displaystyle е (х) \ сим г (х) \ квад (<\ текст > х \ к \ infty)>

тогда и только тогда, когда ( de Bruijn 1981 , §1.4)

lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) = 1. <\displaystyle \lim _<\frac >=1.>

— это тильда . Отношение является отношением эквивалентности на множестве функций от x ; функции f и g называются асимптотически эквивалентными . Домен из е и г может быть любое множество , для которого определен предел: например , действительные числа, комплексные числа, целые положительные числа.

То же обозначение используется и для других способов перехода к пределу: например, x → 0 , x ↓ 0 , | х | → 0 . Способ перехода к пределу часто не указывается явно, если это ясно из контекста.

Хотя приведенное выше определение широко используется в литературе, это проблематично, если g ( x ) бесконечно часто равен нулю, поскольку x стремится к предельному значению. По этой причине некоторые авторы используют альтернативное определение. Альтернативное определение в кратких обозначениях состоит в том, что f

g тогда и только тогда, когда

f ( x ) = g ( x ) ( 1 + o ( 1 ) ) . <\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).>

Это определение эквивалентно предыдущему определению, если g ( x ) не равно нулю в некоторой окрестности предельного значения. [1] [2]

Свойства [ править ]

Если и , то при некоторых мягких условиях имеет место следующее. f ∼ g <\displaystyle f\sim g> a ∼ b <\displaystyle a\sim b>

• f r ∼ g r <\displaystyle f^\sim g^>, для каждого реального r
• log ⁡ ( f ) ∼ log ⁡ ( g ) <\displaystyle \log(f)\sim \log(g)>
• f × a ∼ g × b <\displaystyle f\times a\sim g\times b>
• f / a ∼ g / b <\displaystyle f/a\sim g/b>

Такие свойства позволяют свободно обмениваться асимптотически эквивалентными функциями во многих алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул [ править ]

• Факториал

n ! ∼ 2 π n ( n e ) n <\displaystyle n!\sim <\sqrt <2\pi n>>\left(<\frac >\right)^>— это приближение Стирлинга

• Функция разделения

Для положительного целого числа n функция распределения p ( n ) дает количество способов записать целое число n как сумму положительных целых чисел, где порядок слагаемых не учитывается. p ( n ) ∼ 1 4 n 3 e π 2 n 3 <\displaystyle p(n)\sim <\frac <1><4n<\sqrt <3>>>>e^<\pi <\sqrt <\frac <2n><3>>>>>

• Функция Эйри

Функция Эйри Ai ( x ) является решением дифференциального уравнения y » — xy = 0 ; он имеет множество приложений в физике. Ai ⁡ ( x ) ∼ e − 2 3 x 3 2 2 π x 1 / 4 <\displaystyle \operatorname (x)\sim <\frac <3>>x^<\frac <3><2>>>><2<\sqrt <\pi >>x^<1>>>>

• Функции Ганкеля

H α ( 1 ) ( z ) ∼ 2 π z e i ( z − 2 π α − π 4 ) H α ( 2 ) ( z ) ∼ 2 π z e − i ( z − 2 π α − π 4 ) <\displaystyle <\beginH_<\alpha >^<(1)>(z)&\sim <\sqrt <\frac <2><\pi z>>>e^<4>>\right)>\\H_<\alpha >^<(2)>(z)&\sim <\sqrt <\frac <2><\pi z>>>e^<-i\left(z-<\frac <2\pi \alpha -\pi ><4>>\right)>\end>>

Строительство [ править ]

Общие [ править ]

h ( x ) = f ( x ) ( 1 − F ( x ) ) + g ( x ) F ( x ) <\displaystyle h(x)=f(x)(1-F(x))+g(x)F(x)>

где и — аналитические функции с действительными значениями , а — кумулятивная функция распределения . f ( x ) <\displaystyle f(x)> g ( x ) <\displaystyle g(x)> F ( x ) <\displaystyle F(x)>

Тогда асимптотика as и асимптотика as . h ( x ) <\displaystyle h(x)> f ( x ) <\displaystyle f(x)> x → ( − ∞ ) <\displaystyle x\to (-\infty )> g ( x ) <\displaystyle g(x)> x → ( + ∞ ) <\displaystyle x\to (+\infty )>

Асимптотика двух разных многочленов [ править ]

Предположим, нам нужна вещественная функция, асимптотическая для as и асимптотическая для as . потом ( a 0 + a 1 x ) <\displaystyle (a_<0>+a_<1>x)> x → ( − ∞ ) <\displaystyle x\to (-\infty )> ( b 0 + b 1 x ) <\displaystyle (b_<0>+b_<1>x)> x → ( + ∞ ) <\displaystyle x\to (+\infty )>

h ( x ) = ( a 0 + a 1 x ) ( 1 − F ( x ) ) + ( b 0 + b 1 x ) F ( x ) <\displaystyle h(x)=(a_<0>+a_<1>x)(1-F(x))+(b_<0>+b_<1>x)F(x)>

Асимптотическое разложение [ править ]

Асимптотическое разложение некоторой функции F ( х ) на практике выражение этой функции в терминах ряда , то частичные суммы которых не обязательно сходятся, но таким образом, чтобы принимать какие — либо начальную частичную сумму дает асимптотическую формулу для F . Идея состоит в том, что последовательные члены обеспечивают все более точное описание порядка роста f .

В символах это означает, что у нас есть но и для каждого фиксированного k . Принимая во внимание определение символа, последнее уравнение означает в маленькой нотации o , т. Е. Намного меньше, чем f ∼ g 1 , <\displaystyle f\sim g_<1>,> f − g 1 ∼ g 2 <\displaystyle f-g_<1>\sim g_<2>> f − g 1 − ⋯ − g k − 1 ∼ g k <\displaystyle f-g_<1>-\cdots -g_\sim g_> ∼ <\displaystyle \sim > f − ( g 1 + ⋯ + g k ) = o ( g k ) <\displaystyle f-(g_<1>+\cdots +g_)=o(g_)> f − ( g 1 + ⋯ + g k ) <\displaystyle f-(g_<1>+\cdots +g_)> g k . <\displaystyle g_.>

Отношение принимает свой полный смысл, если для всех k , что означает форму асимптотической шкалы . В этом случае некоторые авторы могут оскорбительно писать для обозначения утверждения. Однако следует быть осторожным, чтобы это не было стандартным использованием символа и не соответствовало определению, данному в § Определение . f − g 1 − ⋯ − g k − 1 ∼ g k <\displaystyle f-g_<1>-\cdots -g_\sim g_> g k + 1 = o ( g k ) <\displaystyle g_=o(g_)> g k <\displaystyle g_> f ∼ g 1 + ⋯ + g k <\displaystyle f\sim g_<1>+\cdots +g_> f − ( g 1 + ⋯ + g k ) = o ( g k ) . <\displaystyle f-(g_<1>+\cdots +g_)=o(g_).> ∼ <\displaystyle \sim >

В данной ситуации это соотношение фактически следует из объединения шагов k и k −1; вычитая из единицы, получаем т.е. g k = o ( g k − 1 ) <\displaystyle g_=o(g_)> f − g 1 − ⋯ − g k − 2 = g k − 1 + o ( g k − 1 ) <\displaystyle f-g_<1>-\cdots -g_=g_+o(g_)> f − g 1 − ⋯ − g k − 2 − g k − 1 = g k + o ( g k ) , <\displaystyle f-g_<1>-\cdots -g_-g_=g_+o(g_),> g k + o ( g k ) = o ( g k − 1 ) , <\displaystyle g_+o(g_)=o(g_),> g k = o ( g k − 1 ) . <\displaystyle g_=o(g_).>

В случае, если асимптотическое разложение не сходится, для любого конкретного значения аргумента будет определенная частичная сумма, которая обеспечивает наилучшее приближение, а добавление дополнительных членов снизит точность. Эта оптимальная частичная сумма обычно будет содержать больше членов по мере приближения аргумента к предельному значению.

Примеры асимптотических разложений [ править ]

• Гамма-функция

e x x x 2 π x Γ ( x + 1 ) ∼ 1 + 1 12 x + 1 288 x 2 − 139 51840 x 3 − ⋯ ( x → ∞ ) <\displaystyle <\frac ><\sqrt <2\pi x>>>>\Gamma (x+1)\sim 1+<\frac <1><12x>>+<\frac <1><288x^<2>>>-<\frac <139><51840x^<3>>>-\cdots \ (x\to \infty )>

• Экспоненциальный интеграл

x e x E 1 ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n ( x → ∞ ) <\displaystyle xe^E_<1>(x)\sim \sum _^<\infty ><\frac <(-1)^n!>>>\ (x\to \infty )>

• Функция ошибки

π x e x 2 e r f c ( x ) ∼ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! n ! ( 2 x 2 ) n ( x → ∞ ) <\displaystyle <\sqrt <\pi >>xe^><\rm >(x)\sim 1+\sum _^<\infty >(-1)^<\frac <(2n-1)!!>)^>>\ (x\to \infty )>где (2 n — 1) !! — двойной факториал .

Пример работы [ править ]

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое заставляет принимать значения вне области сходимости. Например, мы можем начать с обычной серии

1 1 − w = ∑ n = 0 ∞ w n <\displaystyle <\frac <1><1-w>>=\sum _^<\infty >w^>

Выражение слева справедливо для всей комплексной плоскости , в то время как правая часть сходится только для . Умножение и интегрирование обеих сторон дает w ≠ 1 <\displaystyle w\neq 1> | w | 1 <\displaystyle |w| e − w / t <\displaystyle e^<-w/t>>

∫ 0 ∞ e − w t 1 − w d w = ∑ n = 0 ∞ t n + 1 ∫ 0 ∞ e − u u n d u <\displaystyle \int _<0>^<\infty ><\frac >>><1-w>>\,dw=\sum _^<\infty >t^\int _<0>^<\infty >e^<-u>u^\,du>

Интеграл в левой части можно выразить через экспоненциальный интеграл . Интеграл в правой части после замены можно распознать как гамма-функцию . Оценивая оба, получаем асимптотическое разложение u = w / t <\displaystyle u=w/t>

e − 1 t Ei ⁡ ( 1 t ) = ∑ n = 0 ∞ n ! t n + 1 <\displaystyle e^<-<\frac <1>>>\operatorname \left(<\frac <1>>\right)=\sum _^<\infty >n!\;t^>

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении t . Однако, сохраняя t малым и обрезая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению . Подставляя и отмечая, что приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье. Ei ⁡ ( 1 / t ) <\displaystyle \operatorname (1/t)> x = − 1 / t <\displaystyle x=-1/t> Ei ⁡ ( x ) = − E 1 ( − x ) <\displaystyle \operatorname (x)=-E_<1>(-x)>

Асимптотическое распределение [ править ]

В математической статистике , асимптотическое распределение является гипотетическим распределением , что в некотором смысле «ограничение» распределение последовательности распределений. Распределение — это упорядоченный набор случайных величин Z _i для i = 1, . n для некоторого положительного целого числа n . Асимптотическое распределение позволяет i иметь неограниченный диапазон, то есть n бесконечно.

Особый случай асимптотического распределения, когда поздние записи в нуль-то есть Z _я перейти на 0 , как я к бесконечности. Некоторые примеры «асимптотического распределения» относятся только к этому частному случаю.

Это основано на понятии асимптотической функции, которая чисто приближается к постоянному значению ( асимптоте ), когда независимая переменная стремится к бесконечности; «чистый» в этом смысле означает, что для любой желаемой близости эпсилон существует некоторое значение независимой переменной, после которого функция никогда не отличается от константы более чем на эпсилон.

Асимптотой является прямая, кривая приближается , но никогда не встречается или крестов. Неформально можно говорить о кривой, пересекающей асимптоту «на бесконечности», хотя это не точное определение. В уравнении y становится сколь угодно малым по величине с увеличением x . y = 1 x , <\displaystyle y=<\frac <1>>,>

Приложения [ править ]

Асимптотический анализ используется в нескольких математических науках . В статистике , асимптотическая теория дает ограничение приближений распределения вероятностей из выборочных статистических данных , такие как отношения правдоподобия статистики и ожидаемого значение от девиации . Однако асимптотическая теория не предоставляет метода оценки распределений выборочной статистики по конечной выборке. Неасимптотические оценки даются методами теории приближений .

Примеры приложений следующие.

• В прикладной математике асимптотический анализ используется для построения численных методов аппроксимации решений уравнений .
• В математической статистике и теории вероятностей асимптотика используется при анализе долгосрочного или большой выборки поведения случайных величин и оценок.
• в информатике при анализе алгоритмов с учетом производительности алгоритмов.
• поведение физических систем , примером чего является статистическая механика .
• в анализе ДТП при определении причины ДТП посредством моделирования количества ДТП с большим количеством ДТП за заданное время и пространство.

Асимптотический анализ — ключевой инструмент для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, которые возникают при математическом моделировании явлений реального мира. [3] Наглядным примером является вывод уравнений пограничного слоя из полных уравнений Навье-Стокса, управляющих потоком жидкости. Во многих случаях асимптотическое разложение проводится по малому параметру ε : в случае пограничного слоя это безразмерное отношение толщины пограничного слоя к типичному масштабу длины задачи. Действительно, приложения асимптотического анализа в математическом моделировании часто [3] сосредоточены вокруг безразмерного параметра, который был показан или предположительно мал благодаря рассмотрению масштабов рассматриваемой проблемы.

Асимптотические разложения обычно возникают в приближении определенных интегралов ( метод Лапласа , метод перевала , метод градиентного спуска ) или в приближении вероятностных распределений ( серия Эджуорта ). В Фейнмановские диаграммы в квантовой теории поля являются еще одним примером асимптотических разложений , которые часто не сходятся.

Источник