Что значит алгебраическое выражение не имеет смысла

Выражение, не имеющее смысла: примеры

Выражение – это самый широкий математический термин. По существу, в этой науке из них состоит все, и все операции проводятся тоже над ними. Другой вопрос, что в зависимости от конкретного вида применяются совершенно разнообразные методы и приемы. Так, работа с тригонометрией, дробями или логарифмами – это три различных действия. Выражение, не имеющее смысла, может относится к одному из двух видов: числовому или алгебраическому. А вот что означает это понятие, как выглядит его пример и прочие моменты будут рассмотрены далее.

Числовые выражения

Если выражение состоит из чисел, скобок, плюсов-минусов и остальных знаков арифметических действий, его смело можно называть числовым. Что довольно логично: стоит только еще разок взглянуть на первый названный его компонент.

Числовым выражением может быть что угодно: главное, чтобы в нем не было букв. А под «чем угодно» в данном случае понимается все: от простой, стоящей одиноко, самой по себе, цифры, до огромного их перечня и знаков арифметических действий, требующих последующего вычисления конечного результата. Дробь – это тоже числовое выражение, если в ней нет всяких a, b, c, d и т.д., ведь тогда это совершенно другой вид, о котором будет рассказано чуть позже.

Условия для выражения, которое не имеет смысла

Когда задание начинается со слова «вычислить», можно говорить о преобразовании. Штука в том, что это действие не всегда целесообразно: в нем не то чтобы сильно нуждаются, если на передний план выходит выражение, не имеющее смысла. Примеры бесконечно удивительны: иногда, чтобы понять, что оно-то нас и настигло, приходится долго и нудно раскрывать скобки и считать-считать-считать.

Главное, что нужно запомнить: не имеет смысла то выражения, чей конечный результат сводится к запретному в математике действию. Если уж совсем по-честному, то тогда бессмысленным становится само преобразование, но для того, чтобы это выяснить, приходится его для начала выполнить. Такой вот парадокс!

Самое знаменитое, но от того не менее важное запретное математическое действие – это деление на ноль.

Потому вот, например, выражение, не имеющее смысла:

Если при помощи нехитрых вычислений свести вторую скобку к одной цифре, то она и будет нулем.

По такому же принципу «почетное звание» дается и этому выражению:

Алгебраические выражения

Это то же самое числовое выражение, если в него добавить запретные буквы. Тогда оно и становится полноценным алгебраическим. Оно также может быть всех размеров и форм. Алгебраическое выражение – понятие более широкое, включающее в себя предыдущее. Но был смысл начинать разговор не с него, а с числового, чтобы было понятнее и разобраться было легче. Ведь имеет ли смысл выражение алгебраическое – вопрос не то чтобы очень сложный, но имеющий больше уточнений.

Почему так?

Буквенное выражение, или выражение с переменными – это синонимы. Первый термин объяснить просто: ведь оно, в конце концов, содержит в себе буквы! Второй тоже не загадка века: вместо букв можно подставлять разные числа, вследствие чего значение выражения будет меняться. Нетрудно догадаться, что буквы в данном случае и есть переменные. По аналогии, числа – это постоянные.

И тут мы возвращаемся к основной тематике: что такое выражение, не имеющее смысла?

Примеры алгебраических выражений, не имеющих смысла

Условие для бессмысленности алгебраического выражения — аналогичное, как и для числового, с одним лишь только исключением, а если быть точнее, дополнением. При преобразовании и вычислении конечного результата приходится учитывать переменные, поэтому вопрос ставится не как «какое выражение не имеет смысла?», а «при каком значении переменной это выражение не будет иметь смысла?» и «есть ли такое значение переменной, при котором выражение потеряет смысл?»

Вышеприведенное выражение не имеет смысла при a равном -2.

А вот насчет (a+3):(12-4-8) можно смело сказать, что это выражение, не имеющее смысла при любых a.

Точно так же, какое b ни подставишь в выражение (b — 11):(12+1), оно по-прежнему будет иметь смысл.

Типовые задачи по теме «Выражение, не имеющее смысла»

7 класс изучает эту тему по математике в числе прочих, и задания по ней встречаются нередко как непосредственно после соответствующего занятия, так и в качестве вопроса «с подвохом» на модулях и экзаменах.

Вот почему стоит рассмотреть типовые задачи и методы их решения.

Имеет ли смысл выражение:

Необходимо произвести все вычисление в скобках и привести выражение к виду:

Конечный результат содержит деление на ноль, следовательно, выражение не имеет смысла.

Какие выражения не имеют смысла?

Следует вычислить конечное значение для каждого из выражений.

Найти область допустимых значений для следующих выражений:

Область допустимых значений (ОДЗ) — это все те числа, при подставлении которых вместо переменных выражение будет иметь смысл.

То есть задание звучит как: найти значения, при которых не будет деления на ноль.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), или b>-17 & b 25 & b 3 — x 2 y 3 + 13x — 38y)/(12x 2 — y).

Но на самом деле оно только выглядит страшным и громоздким, потому что на деле содержит в себе то, что уже давно известно: возведение чисел в квадрат и куб, некоторые арифметические действия, такие как деление, умножение, вычитание и сложения. Для удобства, между прочим, можно привести задачу к дробному виду.

Числитель у получившейся дроби не радует: (x 3 — x 2 y 3 + 13x — 38y). Это факт. Зато есть другой повод для счастья: его-то для решения задания трогать даже не понадобится! Согласно определению, рассмотренному ранее, делить нельзя на ноль, а что именно на него будет делиться, совершенно неважно. Потому оставляем это выражение в неизменном виде и подставляем пары чисел из данных вариантов в знаменатель. Уже третий пункт идеально вписывается, превращая небольшую скобочку в ноль. Но останавливаться на этом – плохая рекомендация, ведь подойти может еще что-нибудь. И вправду: пятый пункт тоже неплохо вписывается и подходит условию.

Записываем ответ: 3 и 5.

В заключение

Как видно, эта тема очень интересная и не особо сложная. Разобраться в ней не составит труда. Но все-таки отработать пару примеров никогда не помешает!

Источник

Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.

Что такое выражение в математике? Зачем нужны преобразования выражений?

Вопрос, как говорится, интересный. Дело в том, что эти понятия — основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований. Не очень понятно? Поясню.

Допустим, перед вами злой пример. Очень большой и очень сложный. Допустим, вы сильны в математике и ничего не боитесь! Сможете сразу дать ответ?

Вам придётся решать этот пример. Последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать. По определённым правилам, естественно. Т.е. делать преобразование выражений. Насколько успешно вы проведёте эти преобразования, настолько вы и сильны в математике. Если вы не умеете делать правильные преобразования, в математике вы не сможете сделать ни-че-го.

Во избежание такого неуютного будущего (или настоящего. ), не мешает разобраться в этой теме.)

Для начала выясним, что такое выражение в математике. Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение.

Что такое выражение в математике?

Выражение в математике — это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике — это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее — это всё состоит из математических выражений.

3+2 — это математическое выражение. с 2 — d 2 — это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число — это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение — слева, другое — справа.

В общем виде термин «математическое выражение» применяется, чаще всего, чтобы не мычать. Спросят вас, что такое обыкновенная дробь, например? И как ответить?!

Первый вариант ответа: «Это. м-м-м-м. такая штука. в которой. А можно я лучше напишу дробь? Вам какую?»

Второй вариант ответа: «Обыкновенная дробь — это (бодро и радостно!) математическое выражение, которое состоит из числителя и знаменателя!»

Второй вариант как-то посолидней будет, правда?)

Вот в этих целях фраза «математическое выражение» очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике.

Конкретный вид- это другое дело. Это совсем другое дело! У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями — один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями — второй. Для работы с логарифмами — третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то — резко отличаются. Но не пугайтесь этих страшных слов. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.

Здесь мы освоим (или — повторим, кому как. ) два основных вида математических выражений. Числовые выражения и алгебраические выражения.

Числовые выражения.

Что такое числовое выражение? Это очень простое понятие. Само название намекает, что это выражение с числами. Да, так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.

7-3 — числовое выражение.

(8+3,2)·5,4 — тоже числовое выражение.

И вот этот монстр:

тоже числовое выражение, да.

Обычное число, дробь, любой пример на вычисление без иксов и прочих букв — всё это числовые выражения.

Главный признак числового выражения — в нём нет букв. Никаких. Только числа и математические значки (если надо). Всё просто, правда?

И что можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится, бывает, раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые — т.е. делать преобразования выражений. Но об этом чуть ниже.

Здесь же мы разберёмся с таким забавным случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Ну вот совсем ничего! Эта приятная операция — ничего не делать) — выполняется, когда выражение не имеет смысла.

Когда числовое выражение не имеет смысла?

Понятное дело, если мы видим перед собой какую-то абракадабру, типа

то делать ничего и не будем. Так как непонятно, что с этим делать. Бессмыслица какая-то. Разве что, посчитать количество плюсиков.

Но бывают внешне вполне благопристойные выражения. Например такое:

Однако, это выражение тоже не имеет смысла! По той простой причине, что во вторых скобочках — если посчитать — получается ноль. А на ноль делить нельзя! Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: «Выражение не имеет смысла!»

Чтобы дать такой ответ, пришлось, конечно, посчитать, что в скобочках будет. А иногда в скобочках такого понаворочено. Ну тут уж ничего не поделаешь.

Запретных операций в математике не так уж много. В этой теме — всего одна. Деление на ноль. Дополнительные запреты, возникающие в корнях и логарифмах обсуждаются в соответствующих темах.

Итак, представление о том, что такое числовое выражение — получили. Понятие числовое выражение не имеет смысла — осознали. Едем дальше.

Алгебраические выражения.

Если в числовом выражении появляются буквы — это выражение становится. Выражение становится. Да! Оно становится алгебраическим выражением. Например:

5а 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (а+b) 2 ; .

и так далее, до бесконечности. )

Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с, к примеру — и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.

Понятие алгебраическое выражение — более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение — это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Всякая селёдка — рыба, но не всякая рыба — селёдка. )

Почему буквенное — понятно. Ну, раз буквы есть. Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами. И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными.

В выражении у+5, например, у — переменная величина. Или говорят просто «переменная», без слова «величина». В отличие от пятёрки, которая — величина постоянная. Или просто — постоянная.

Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры. Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра — со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.

В арифметике можно записать, что

Посчитать, и все дела. Слева 8, и справа 8. А для других чисел такое равенство выполняется? Тоже можно записать и посчитать. Но чисел — бесконечное количество. И что, каждый раз считать?!

А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:

мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.

Когда алгебраическое выражение не имеет смысла?

Про числовое выражение всё понятно. Там на ноль делить нельзя. А с буквами, разве можно узнать, на что делим?!

Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:

Имеет оно смысл? Да кто ж его знает? а — любое число.

Любое-то любое. Но есть одно значение а, при котором это выражение точно не имеет смысла! И что это за число? Да! Это 5! Если переменную а заменить (говорят — «подставить») на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла, если а = 5. Но при других-то значениях а смысл имеется? Другие числа подставлять-то можно?

Конечно. Просто в таких случаях говорят, что выражение

имеет смысл для любых значений а, кроме а = 5.

Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.

Как видите, ничего хитрого нет. Смотрим на выражение с переменными, да соображаем: при каком значении переменной получается запретная операция (деление на ноль)?

А потом обязательно смотрим на вопрос задания. Чего спрашивают-то?

Если спрашивают, при каком значении переменной выражение не имеет смысла, наше запретное значение и будет ответом.

Если спрашивают, при каком значении переменной выражение имеет смысл (почувствуйте разницу!), ответом будут все остальные числа, кроме запретного.

Зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его. Какая разница?! Дело в том, что это понятие становится очень важным в старших классах. Крайне важным! Это основа для таких солидных понятий, как область допустимых значений или область определения функции. Без этого вы вообще не сможете решать серьёзные уравнения или неравенства. Вот так.

Преобразование выражений. Тождественные преобразования.

Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Поняли, что означает фраза «выражение не имеет смысла». Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений. Ответ прост, до безобразия.) Это любое действие с выражением. И всё. Вы эти преобразования делали с первого класса.

Возьмём крутое числовое выражение 3+5. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Посчитать:

Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:

Тут мы вообще ничего не считали. Просто записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:

И это тоже — преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь.

Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Нарушение этого правила неизбежно приводит к ошибкам. Вникаем?)

Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:

Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде, что здесь не так?

Всё не так.) Дело в том, что преобразования «как попало» математику не интересуют вообще.) Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.

Преобразования, не меняющие сути выражения называются тождественными.

Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.)

Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac. И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать — от конкретного примера зависит.

Ещё пример. Одно из из самых главных и нужных преобразований — это основное свойство дроби. Подробнее можно по ссылке посмотреть, а здесь просто напомню правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:

Как вы, наверняка, догадались, эту цепочку можно продолжать до бесконечности. ) Очень важное свойство. Именно оно позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)

Формул, задающих тождественные преобразования, — много. Но самых главных — вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований — разложение на множители. Оно используется во всей математике — от элементарной до высшей. С него и начнём. В следующем уроке.)

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник