Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: .
В случае вещественного абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной [1] . Он определяется по формуле:
Содержание
Основные свойства
С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.
Вещественные числа
Область определения: .
Область значений: .
Функция чётная.
Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке функция претерпевает излом.
Комплексные числа
Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: .
Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.
Алгебраические свойства
Для любых имеют место следующие соотношения:
(см. Функция sgn(x)).
.
Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:
, причём тогда и только тогда, когда .
.
.
(неравенство треугольника).
.
.
.
, если существует.
История
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.
В языках программирования
Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.
Обобщение
Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.
См. также
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Абсолютная величина» в других словарях:
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, рассматриваемая сама по себе, без сравнения с другими. Так, вес данного тела, напр. куска меди, равный положим 3 фунт., есть его абсолютный в., тогда как вес тела сравнительно с весом такого же объема воды относительный или удельный в.… … Словарь иностранных слов русского языка
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа a неотрицательное число (обозначается … Большой Энциклопедический словарь
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — англ. value of a number, absolute (modul); нем. Grosse der Zahl Absolute. А. в. положительного числа есть само это число; А. в. отрицательного числа есть противоположное ему положительное число; А. в. нуля равна нулю. А. в. числа а обознач./а/.… … Энциклопедия социологии
абсолютная величина — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а|), определяемое так: если а≥0, то |а| = а, если а … Энциклопедический словарь
абсолютная величина — absoliutusis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. absolute magnitude; absolute quantity vok. absolute Größe, f rus. абсолютная величина, f pranc. grandeur absolue, f … Automatikos terminų žodynas
абсолютная величина — absoliutusis dydis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, gaunamas statistiniu stebėjimu. atitikmenys: angl. absolute values vok. absolute Größe, f rus. абсолютная величина, f pranc. grandeur absolue, f … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
Абсолютная величина — действительного числа равна этому числу, если оно положительно, равна противоположному числу, если оно отрицательно, и равна нулю, если число равно нулю. А. в. числа а обозначается | a |. Например, | +5 | = | 5 | = 5; | 0 |= 0. А. в. (или … Большая советская энциклопедия
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — модуль, деиствительного числа неотрицательное число (обозначается ), определяемое следующим образом: если если А. в. (модуль) комплексного числа (хи y действительные числа) число Для А. в. имеют место следующие соотношения … Математическая энциклопедия
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа а неотрицат. число (обозначается |а|), определяемое так: если а >= 0, то |а|=а, если а Большой энциклопедический политехнический словарь
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а.|), определяемое так: если а>0, то |а| =а, если a Естествознание. Энциклопедический словарь
Источник
Абсолютная величина. Модуль.
Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).
Абсолютное значение величины — это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль — это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.
Абсолютная величиначисла или модуль числаx — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.
Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:
Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:
Абсолютные величины, виды:
Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,
Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.
Свойства модуля.
Модулю присущи некоторые характерные результаты — свойства модуля.
Модуль числа не бывает числом меньше нуля. Обоснование этого свойства: модуль числа – это расстояние, а расстояние не выражается числом ниже нуля.
Модуль числа = 0 только в том случае, если это число является нулем. Модуль нуля – это нуль по определению. Нуль – это начало отсчета, ни одна больше точка на координатной прямой нулем не является. Исходя из этого, каждому числу, не равному нулю, соответствует точка, не являющаяся началом отсчета. Значит, расстояние начало отсчета – любая точка, не соответствующая точке O, не равно нулю, т.к. расстояние между 2 точка и равно нулю только если они совпадают. Из этого следует, что нулю равен только модуль нуля.
Противоположные числа имеют одинаковые модули, т.е. , для каждого числа a. Так и есть, 2 точки на координатной прямой, координаты которых – противоположные числа, расположены на равном расстоянии от начала отсчета, т.о. модули противоположных чисел одинаковы.
По определению модуль произведения чиселa и b равен либо a·b, если , либо −(a·b), если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.
Модуль частного от деленияa на b = частному от деления модуля числа a на модуль числа b, т.е.,
.
Так как частное = , то . В силу предыдущего свойства имеем . Воспользуемся равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.
— неравенство треугольника, где a, b и c – произвольные действительные числа.
Основные свойства абсолютной величины.
Вещественные числа.
Область определения: .
Область значений: .
Функция чётная.
Функция дифференцируема везде, кроме нуля. В точке x = 0 функция претерпевает излом.
Комплексные числа.
Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: .
Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке.
Алгебраические свойства абсолютной величины.
Для каждого имеют место следующие соотношения:
,
,
,
Как для вещественных, так и для комплексных a, b имеют место соотношения:
— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа 
.
, также иногда называемый абсолютной величиной [1] . Он определяется по формуле:
означает расстояние между точками 
и 
и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.
.
.
функция претерпевает излом.
имеют место следующие соотношения:
(см. Функция sgn(x)).
.
имеют место соотношения:
, причём 
тогда и только тогда, когда 
.
.
.
(неравенство треугольника).
.
.
.
, если 
существует.
. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.
, для каждого числа a. Так и есть, 2 точки на координатной прямой, координаты которых – противоположные числа, расположены на равном расстоянии от начала отсчета, т.о. модули противоположных чисел одинаковы.
По определению модуль произведения чиселa и b равен либо a·b, если 
, либо −(a·b), если 
. Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , 
.
= 
, то 
. В силу предыдущего свойства имеем 
, которое справедливо в силу определения модуля числа.
— неравенство треугольника, где a, b и c – произвольные действительные числа.
.
.
имеют место следующие соотношения:
,
,
,
, причём 
только если 
,
,
— неравенство треугольника,
,
,
,
, если a k существует.
