Алгебра что значит lim

Что означает предел в математике

Сага о погрешностях при участии слова lim

Кто о чём, а мы продолжаем разбирать сложную математику, чтобы она не была такой сложной.

Что такое предел в математике

Когда математики говорят о пределах, то имеют в виду такую последовательность событий:

1. Есть функция — это просто какая-то «коробка» с математикой. Ты ей на вход число, она его обрабатывает у себя внутри и отдаёт другое число.
2. У функции есть как минимум два числа: то, которое ты ей даёшь на вход; и то, которое получаешь на выходе.
3. Иногда математикам интересно, что будет, если число на входе будет к чему-то стремиться. А именно: «Если число на входе будет стремиться вот сюда, куда будет стремиться число на выходе?»

Самое простое объяснение функции в математике.

👉 Стремиться — значит стараться приблизиться к какому-то числу, но не достигнуть его.

Если мы говорим, что переменная функции стремится к бесконечности, то это значит, что с каждым новым вычислением мы берём значение переменной больше предыдущего.

1, 2, 3, … 1000000000000003, 1000000000000004 и так до бесконечности

Наоборот тоже работает: если переменная функции стремится к нулю, то это значит, что она постоянно уменьшается:

1, 0.1, 0.01, 0.001, … 0.00000000000000000000000001 и с каждым разом число будет ближе к нулю, но никогда его не достигнет.

Стремление переменной к числу обозначается стрелкой: x→0, а предел — словом lim:

График и предел

Если мы нарисуем график этой функции, то можем увидеть, что начиная с какого-то момента он превратится в почти прямую линию вдоль оси. Почти прямую — потому что прямой он никогда не станет, но стремится к этому, если продолжить рисовать график бесконечно.

Но бесконечный график означает, что у нас переменная функции стремится к бесконечности. А значение этой линии на графике — это и есть предел этой функции при переменной, стремящейся к бесконечности:

Пределы в жизни

Пределы из математики часто используются для решения практических задач, где нужно найти точку, после которой разница в результате будет уже незаметна.

Например, бригада монтажников строит мост, и им нужно понять, какой максимальной длины можно сделать плиту перекрытия. Есть требования, что плита должна выдерживать в середине нагрузку в 50 тонн — она может быть и прочнее, но 50 тонн это минимум. Для решения этой задачи используют предел — он покажет, длиннее какого размера делать плиту нельзя, а всё, что короче, даст необходимую прочность.

Астрономы с помощью пределов изучают законы Вселенной, физики проверяют всё на прочность, и даже в микроэлектронике затухание сигналов тоже зависит от пределов функций.

Погрешность в пределах

В математике пределы считаются точно: используются специальные формулы и трюки, которые помогают найти точный ответ. Но в жизни такая точность необязательна: можно взять любое решение, которое нас устроит с приемлемой погрешностью.

Эта погрешность поможет нам считать пределы, не зная точных математических формул подсчёта.

Считаем предел в программировании

Раз у нас есть постоянное действие по уменьшению или увеличению переменной, то логично сделать из этого простой цикл и поручить его машине. Единственное, что нам нужно предусмотреть, — момент, когда цикл должен остановиться, потому что в мире математики lim по умолчанию касается бесконечности (потому что стремиться можно бесконечно).

Так как мы не знаем заранее точного предела функции, но можем контролировать количество повторений, то сделаем такие условия для остановки цикла:

1. Закончилось количество повторений. Например, мы заранее говорим, что будем стремиться к границе предела 10000000000 раз, но если ничего не выйдет — остановимся.
2. Если достигли нужной погрешности. Два соседних результата отличаются на величину погрешности или меньше — отлично, мы нашли то, что нужно.

Самый сложный момент в коде — описать то, как переменная функции к чему-то стремится. Если к бесконечности, то всё просто: на каждом шаге прибавляем или умножаем на какое-то число. А если нужно, чтобы переменная стремилась к нулю или другому числу, то можно действовать так: брать начальное число, конечное, складывать их и делить пополам. Так мы будем постоянно приближаться к нужному нам числу, но никогда его не достигнем.

⚠️ Важная оговорка: числа в компьютере — это не числа в абстрактном математическом понимании, а конечный набор данных. Конечный он тем, что на всякое число выделяется какое-то количество «клеток», в которые это число можно записать. Если у нас ограниченное количество «клеток», значит, у нас есть какой-то предел самого большого и самого малого числа.

Например, если мы дали переменной 32 бита памяти, самое малое число, которое мы сможем в нее записать, — 1,4012985 × 10 -45 . Это кажется бесконечно малым, но на самом деле, если циклически делить число на 2 несколько сотен раз в секунду, мы упремся в этот лимит точности почти сразу. Потом знаки после запятой закончатся и число очень быстро превратится в 0.

С точки зрения математики любое число можно бесконечно делить и получать бесконечное число знаков после запятой; а с точки зрения компьютера бесконечное число знаков невозможно, и если делить достаточно долго — мы получим ноль.

Поэтому в работе с пределами важно указывать либо число шагов для определения предела, либо погрешность.

Теперь напишем простой цикл, который нам посчитает lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12):

• предел функции f(x) = (8−2x) / (x²−4x-12);
• при x стремящемся к 2.

Если мы посчитаем этот предел как математики, то получим значение −1. Проверим, как с этим справится наш код:

Программа справилась и выдала результат с нужной нам точностью

Источник

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

а) $$ \lim \limits_ \frac<1> = \infty $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1

Вычислить а) $ \lim_ \frac<1> $; б)$ \lim_ \frac<1> $

Решение

Ответ

$$ \text \lim \limits_ \frac<1> = \infty \text< б)>\lim \limits_ \frac<1> = 0 $$

Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется 🙂

Пример 2

$$ \lim \limits_ \frac $$

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_ \frac = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac<0> <0>\bigg ] $

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

Пример 3

Решить $ \lim \limits_ \frac $

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_ \frac = -2 $$

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Пример 4

$$ \lim \limits_\frac $$

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_\frac = \infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac<\infty> <\infty>\bigg ] $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем.

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

Пример 5

Вычислить $ \lim \limits_ \frac $

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_ \frac = \infty $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.

Пример 6

$$ \lim \limits_\frac $$

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_\frac = 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
2. Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
3. Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

Предел функции: основные понятия и определения

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое — ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или — ∞ не стоит заменять просто на ∞ .

Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f ( x ) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или — ∞ ), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f ( x ) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f ( x ) = ∞ , lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ или lim x → x 0 f ( x ) = — ∞ , то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Число A является пределом функции f ( x ) при x → ∞ , если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f ( x ) = A .

При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Запись выглядит как lim x → ∞ f ( x ) = ∞ .

Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощью основного определения предела для x → ∞ .

Решение

Начнем с записи последовательности значений функции 1 x 2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 . См. на картинке:

Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.

x = — 1 , — 2 , — 3 , . . . , — n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 — n 2 > . . .

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.

Вычислите предел lim x → ∞ e 1 10 x .

Решение

Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f ( x ) = e 1 10 x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1 , 10 ; 1 , 49 ; 2 , 45 ; 4 , 95 ; 12 , 18 ; . . . ; 22026 , 46 ; . . .

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x = — 1 , — 4 , — 9 , — 16 , — 25 , . . . , — 10 2 , . . . → — ∞ .

e — 1 10 ; e — 4 10 ; e — 9 10 ; e — 16 10 ; e — 25 10 ; . . . ; e — 100 10 ; . . . = = 0 , 90 ; 0 , 67 ; 0 , 40 ; 0 , 20 ; 0 , 08 ; . . . ; 0 , 000045 ; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → ∞

Поскольку она тоже стремится к нулю, то f ( x ) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными ­ – отрицательных.

Ответ: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , п р и x → + ∞ 0 , п р и x → — ∞ .

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Число B является пределом функции f ( x ) слева при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются меньше a ( x n a ).

Такой предел на письме обозначается как lim x → a — 0 f ( x ) = B .

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Число B является пределом функции f ( x ) справа при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются больше a ( x n > a ).

Этот предел мы записываем как lim x → a + 0 f ( x ) = B .

Мы можем найти предел функции f ( x ) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. lim x → a f ( x ) = lim x → a — 0 f ( x ) = lim x → a + 0 f ( x ) = B . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Докажите, что существует конечный предел функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в точке x 0 = 2 и вычислите его значение.

Решение

Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n 2 :

f ( — 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 , 667 ; 2 , 667 ; 0 , 167 ; — 0 , 958 ; — 1 , 489 ; — 1 , 747 ; — 1 , 874 ; . . . ; — 1 , 998 ; . . . → — 2

Поскольку приведенная последовательность сводится к — 2 , мы можем записать, что lim x → 2 — 0 1 6 x — 8 2 — 8 = — 2 .

Далее докажем наличие предела справа: запишем аргументы в последовательности, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n > 2 :

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = — 7 , 333 ; — 5 , 333 ; — 3 , 833 ; — 2 , 958 ; — 2 , 489 ; — 2 , 247 ; — 2 , 124 ; . . . , — 2 , 001 , . . . → — 2

Данная последовательность также сходится к — 2 , значит, lim x → 2 + 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в точке x 0 = 2 существует, и lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к x n 2 , синие – к x n > 2 ).

Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Источник